3.17. Масса сплошного куба, сделанного из некоторого вещества, равна 8 кг. Какую массу будет иметь куб из этого же вещества, но с вдвое меньшим ребром?

На слайде пять задач, поэтому решаю все. Плотности беру табличные: сталь \(7800\ \text{кг/м}^3\), алюминий \(2700\ \text{кг/м}^3\), нефть \(800\ \text{кг/м}^3\).

Кратко:

• 3.17 — \(1\ \text{кг}\);
• 3.20 — в условии, скорее всего, опечатка; если «на \(23\ \text{г}\) меньше», то \(59{,}8\ \text{г}\approx60\ \text{г}\);
• 3.22 — \(4{,}5\ \text{км}^2\);
• 3.24 — \(0{,}3375\ \text{кг}\approx338\ \text{г}\);
• 3.34 — \(0{,}66\ \text{кг}\).

3.17

Объём куба: \[ V=a^3. \] Если ребро уменьшить вдвое, объём уменьшится в \[ 2^3=8 \] раз. Плотность та же, значит и масса уменьшится в 8 раз: \[ m'=\frac{8}{8}=1\ \text{кг}. \]

3.20

Здесь важно одно слово в условии. Если стальной кубик тяжелее на \(23\ \text{г}\), а его объём в 4 раза меньше, то с табличными плотностями получается противоречие: \[ \frac{m_{\text{ст}}}{m_{\text{ал}}} =\frac{\rho_{\text{ст}}V_{\text{ст}}}{\rho_{\text{ал}}V_{\text{ал}}} =\frac{7800}{2700}\cdot\frac14 =\frac{13}{18}<1. \] То есть стальной кубик был бы легче, а не тяжелее.

Если в условии должно быть «на \(23\ \text{г}\) меньше», то: \[ m_{\text{ал}}-m_{\text{ст}}=23,\qquad m_{\text{ст}}=\frac{13}{18}m_{\text{ал}}. \] Отсюда: \[ m_{\text{ал}}=82{,}8\ \text{г},\qquad m_{\text{ст}}=59{,}8\ \text{г}\approx60\ \text{г}. \] Если же вместо «объём в 4 раза меньше» должно быть «в 4 раза больше», получится около \(25{,}2\ \text{г}\). Поэтому лучше сверить слово в бумажном условии.

3.22

Толщина слоя: \[ d=\frac{1}{4000}\ \text{мм} =2{,}5\cdot10^{-7}\ \text{м}. \] Объём нефти: \[ V=\frac{m}{\rho}. \] При тонком слое: \[ V=Sd, \] значит \[ S=\frac{m}{\rho d}. \] Подставляем: \[ S=\frac{900}{800\cdot2{,}5\cdot10^{-7}} =4{,}5\cdot10^6\ \text{м}^2 =4{,}5\ \text{км}^2. \] Если в вашей таблице плотность нефти \(900\ \text{кг/м}^3\), получится \(4\ \text{км}^2\).

3.24

У куба 6 граней, поэтому: \[ S=6a^2. \] Отсюда: \[ a=\sqrt{\frac{150}{6}}=5\ \text{см}. \] Объём: \[ V=a^3=125\ \text{см}^3. \] Плотность: \[ 2700\ \text{кг/м}^3=2{,}7\ \text{г/см}^3. \] Масса: \[ m=\rho V=2{,}7\cdot125=337{,}5\ \text{г}=0{,}3375\ \text{кг}. \]

3.34

Объёмы частей: \[ V_1=600\cdot\frac{2}{10}=120\ \text{см}^3, \] \[ V_2=180\ \text{см}^3,\qquad V_3=300\ \text{см}^3. \] Плотности: \[ \rho_1=2000\ \text{кг/м}^3=2\ \text{г/см}^3, \] \[ \rho_2=1{,}5\ \text{г/см}^3,\qquad \rho_3=0{,}5\ \text{г/см}^3. \] Масса изделия: \[ m=2\cdot120+1{,}5\cdot180+0{,}5\cdot300= 240+270+150=660\ \text{г}=0{,}66\ \text{кг}. \]