Реши задание на изображении
Краткий ответ. Читаю запись как \(y' = 5y - 6\) (девятка слева — номер задания). Общее решение:
\[ y = \frac{6}{5} + C e^{5x}, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Ход решения. Это уравнение с разделяющимися переменными.
Записываю производную как отношение дифференциалов и разделяю переменные: \[ \frac{dy}{dx} = 5y - 6 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{5y - 6} = dx. \]
Интегрирую обе части: \[ \int \frac{dy}{5y - 6} = \int dx \;\Rightarrow\; \frac{1}{5}\ln|5y - 6| = x + C_1. \]
Убираю логарифм (множитель \(\frac{1}{5}\) уходит в показатель степени): \[ \ln|5y - 6| = 5x + C_2 \;\Rightarrow\; 5y - 6 = C e^{5x}. \]
Выражаю \(y\): \[ y = \frac{6}{5} + C e^{5x}. \]
Проверка. \(y' = 5C e^{5x}\), а \(5y - 6 = 6 + 5C e^{5x} - 6 = 5C e^{5x}\) — левая и правая части совпали. При \(C = 0\) получается частное решение \(y = \frac{6}{5}\), оно тоже подходит.
Принцип для похожих заданий. У уравнения вида \(y' = ky + b\) решение всегда \(y = -\frac{b}{k} + C e^{kx}\). У нас \(k = 5\), \(b = -6\), поэтому \(-\frac{b}{k} = \frac{6}{5}\). Константу \(C\) находят из начального условия, если оно дано.
Если девятка — это коэффициент, то есть \(9y' = 5y - 6\), то разделяем так: \(\frac{dy}{5y-6} = \frac{dx}{9}\), и тогда \[ y = \frac{6}{5} + C e^{\frac{5x}{9}}. \] Скажи, какой из двух вариантов записан в тетради, — уточню решение под него.
