9·y' = 5y - 6
Реши задание на изображении
Краткий ответ: я прочитал запись как \(9y' = 5y - 6\). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение: \[ y = \frac{6}{5} + C\,e^{5x/9}, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Ключевые шаги
Приводим к виду «производная слева»: \[ y' = \frac{5y-6}{9}. \]
Разделяем переменные (всё с \(y\) — влево, всё с \(x\) — вправо): \[ \frac{dy}{5y-6} = \frac{dx}{9}. \]
Интегрируем обе части: \[ \frac{1}{5}\ln|5y-6| = \frac{x}{9} + C_1. \]
Умножаем на 5 и убираем логарифм: \[ \ln|5y-6| = \frac{5x}{9} + C_2 \;\Rightarrow\; 5y-6 = C\,e^{5x/9} \] (модуль и знак «прячутся» в произвольной постоянной \(C\)).
Выражаем \(y\): \[ y = \frac{6}{5} + \frac{C}{5}e^{5x/9}, \] и, переобозначив \(\frac{C}{5}\) снова через \(C\), получаем ответ.
Проверка подстановкой. Если \(y = \frac65 + Ce^{5x/9}\), то \[ 9y' = 9\cdot\frac{5C}{9}e^{5x/9} = 5Ce^{5x/9}, \] а \[ 5y - 6 = 5\left(\frac65 + Ce^{5x/9}\right) - 6 = 5Ce^{5x/9}. \] Левая и правая части совпали — решение верное.
Принцип, который стоит запомнить. Уравнение вида \(y' = k\left(y - a\right)\) всегда решается одинаково: постоянное решение \(y \equiv a\) (здесь \(a = \frac65\), \(k = \frac59\)) плюс экспонента \(C e^{kx}\). Так же решаются, например, \(y' = 3y - 9\) или задачи на радиоактивный распад и охлаждение.
Обсуждение
4 сообщенияА как решить y' = 3y - 9 тем же способом?
Краткий ответ: общее решение — \[ y = 3 + C\,e^{3x}, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Шаги тем же способом
Выносим коэффициент при \(y\), чтобы видеть «сдвиг»: \[ y' = 3(y - 3). \]
Разделяем переменные: \[ \frac{dy}{y-3} = 3\,dx. \]
Интегрируем: \[ \ln|y-3| = 3x + C_1. \]
Потенцируем (модуль и знак уходят в постоянную): \[ y - 3 = C\,e^{3x}. \]
Выражаем \(y\): \[ y = 3 + C\,e^{3x}. \]
Проверка: \[ y' = 3C\,e^{3x}, \qquad 3y - 9 = 3\left(3 + Ce^{3x}\right) - 9 = 3Ce^{3x}. \] Совпало — решение верное.
Про постоянную \(C\). При \(C=0\) получается \(y \equiv 3\) — то же самое, что даёт деление на \(y-3=0\). Так что формула покрывает и это особое решение.
Если есть начальное условие, например \(y(0)=5\), то \(5 = 3 + C\), значит \(C=2\), и \(y = 3 + 2e^{3x}\).
Общий принцип. В сравнении с прошлой задачей \(9y'=5y-6\) здесь \(a=3\), \(k=3\), поэтому ответ сразу \(y = a + Ce^{kx}\). Знак \(k\) говорит о поведении: при \(k>0\) решение уходит от уровня \(y=3\), при \(k<0\) — притягивается к нему.
как решить y'=5x-6
Краткий ответ: если уравнение именно \(y' = 5x - 6\), то \[ y = \frac{5}{2}x^2 - 6x + C, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Почему так
Здесь правая часть зависит только от \(x\), а \(y\) в неё не входит. Значит, это не уравнение с разделяющимися переменными, а простейшее уравнение вида \(y' = f(x)\).
Чтобы найти \(y\), нужно просто взять первообразную от правой части: \[ y = \int (5x - 6)\,dx. \]
Считаем интеграл: \[ \int 5x\,dx = \frac{5x^2}{2}, \qquad \int (-6)\,dx = -6x. \] Добавляем произвольную постоянную: \[ y = \frac{5}{2}x^2 - 6x + C. \]
Проверка: \[ y' = \left(\frac{5}{2}x^2 - 6x + C\right)' = 5x - 6. \] Получили исходную правую часть — решение верное.
Сравнение с предыдущими задачами. Там справа была \(y\), поэтому приходилось разделять переменные и получалась экспонента. Здесь справа только \(x\), поэтому ответ — многочлен, а не экспонента. Общее правило: если \(y' = f(x)\), то \(y\) — это первообразная \(f(x)\) плюс \(C\).
Небольшое уточнение. На фотографии записано \(9y' = 5y - 6\) — это уравнение я уже разбирал, его решение \(y = \frac{6}{5} + C e^{5x/9}\). А равенство \(y' = 5x - 6\) — уже другой случай, и его решение показано выше.
