y'=slnx

Кратко

Если имеется в виду \(y'=\sin x\), то

\[ y=-\cos x+C,\qquad C\in\mathbb{R}. \]

Похоже, в записи опечатка: «slnx» читается как \(\sin x\). Если там было \(\ln x\), то ответ другой: \(y=x\ln x-x+C\) — скажи, и я разберу этот вариант.

Почему так

1. Запись \(y'=\sin x\) — это уравнение: нужно найти функцию, производная которой равна \(\sin x\). То есть найти первообразную.
2. Берём таблицу производных: \((\cos x)'=-\sin x\). Значит, со сменой знака получаем нужное:

\[ (-\cos x)'=\sin x. \]

3. Функция \(-\cos x\) — не единственная: производная любой постоянной равна нулю, поэтому прибавление \(C\) ничего не меняет. Все решения:

\[ y=-\cos x+C. \]

Проверка

\[ y'=(-\cos x+C)'=\sin x+0=\sin x. \]

Получили ровно правую часть уравнения — ответ верный. Константу \(C\) находят, если в задаче есть дополнительное условие вида \(y(x_0)=y_0\): подставляют точку и решают уравнение относительно \(C\).