3. Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью (ABC)

Я готов помочь разобраться с этим заданием.

Краткий ответ: Искомую точку можно построить, продлив прямую \(MN\) и прямую \(CD\) (она на рисунке пунктирная) до их взаимного пересечения. Точка их встречи и есть ответ.

Объяснение принципа:

1. Определяем плоскость прямой. Точка \(M\) принадлежит ребру \(CC_1\), а точка \(N\) — ребру \(DD_1\). Эти два ребра лежат в одной плоскости — задней грани куба \(CDD_1C_1\). Значит, вся прямая \(MN\) целиком находится в этой плоскости.
2. Находим линию пересечения плоскостей. Плоскость \((ABC)\) — это плоскость нижнего основания куба. Она пересекается с плоскостью \(CDD_1C_1\) по прямой \(CD\).
3. Строим точку. Поскольку прямая \(MN\) лежит в плоскости \(CDD_1C_1\), её пересечение с плоскостью \((ABC)\) должно находиться на линии пересечения этих плоскостей — то есть на прямой \(CD\).
4. Делаем вывод. Чтобы найти искомую точку, достаточно продлить прямую \(MN\) и прямую \(CD\) до их пересечения. Пусть они пересекутся в точке \(K\).

Я проверил построение: точка \(K\) лежит на прямой \(CD\), а значит, принадлежит плоскости \((ABC)\). При этом \(K\) лежит и на прямой \(MN\). Следовательно, \(K\) — это ровно та точка пересечения, которую требовалось построить.