реши так же по образцу 2.31.2.32(1-4)
Сверь числа и знаки с фото.
2.31. Решите уравнение:
- \(2x^2 + 3x + 1 = 0\);
- \(2x^2 + x + 2 = 0\);
- \(4x^2 + 4x + 1 = 0\);
- \(x^2 + 5x - 6 = 0\). 2.32. Решите уравнение:
- \(14x^2 - 5x - 1 = 0\);
- \(2x^2 + x + 67 = 0\);
- \(2p^2 + 7p - 30 = 0\);
- \(y^2 - 3y - 5 = 0\).
\(D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81\) \(D > 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 \pm 9}{10}\) \(x_1 = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2;\quad x_2 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2\) Ответ: \(x_1 = 2;\ x_2 = 0,2\) 6) \(9y^2 - 30y + 25 = 0;\ a = 9;\ b = -30;\ c = 25\) \(D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0;\ D = 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b}{2a} = \frac{30}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}\) 7) \(81y^2 - 18y + 1 = 0;\ a = 81;\ b = -18;\ c = 1\) \(D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0;\ D = 0\) 9) \(8z^2 - 7z - 1 = 0;\ a = 8;\ b = -7;\ c = -1\) \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81\) \(D > 0;\ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
Решаю по образцу с фото: сначала выписываем \(a\), \(b\), \(c\), считаем \[ D=b^2-4ac, \] а потом находим корни по формуле \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \] Если \(D<0\), действительных корней нет; если \(D=0\), корень один.
Краткие ответы
2.31
- \(-\frac12;\ -1\)
- корней нет
- \(-\frac12\)
- \(1;\ -6\)
2.32
- \(\frac12;\ -\frac17\)
- корней нет
- \(\frac52;\ -6\)
- \(\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\)
Подробные шаги
2.31
1) \(2x^2+3x+1=0\)
\[ D=3^2-4\cdot2\cdot1=1, \] \[ x_{1,2}=\frac{-3\pm1}{4}. \] Значит, \[ x_1=\frac{-2}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-4}{4}=-1. \]
2) \(2x^2+x+2=0\)
\[ D=1^2-4\cdot2\cdot2=1-16=-15<0. \] Корней нет.
3) \(4x^2+4x+1=0\)
\[ D=4^2-4\cdot4\cdot1=16-16=0. \] При \(D=0\) корень один: \[ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{8}=-\frac12. \] Это уравнение можно записать как \((2x+1)^2=0\).
4) \(x^2+5x-6=0\)
\[ D=25-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49, \] \[ x_{1,2}=\frac{-5\pm7}{2}. \] Отсюда \[ x_1=\frac{2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{-12}{2}=-6. \]
2.32
1) \(14x^2-5x-1=0\)
\[ D=(-5)^2-4\cdot14\cdot(-1)=25+56=81, \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm9}{28}. \] Значит, \[ x_1=\frac{14}{28}=\frac12,\qquad x_2=\frac{-4}{28}=-\frac17. \]
2) \(2x^2+x+67=0\)
\[ D=1^2-4\cdot2\cdot67=1-536=-535<0. \] Действительных корней нет.
3) \(2p^2+7p-30=0\)
\[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-30)=49+240=289=17^2, \] \[ p_{1,2}=\frac{-7\pm17}{4}. \] Отсюда \[ p_1=\frac{10}{4}=\frac52,\qquad p_2=\frac{-24}{4}=-6. \]
4) \(y^2-3y-5=0\)
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)=9+20=29. \] Корни: \[ y_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}. \]
Проверка
Полезно проверять корни по теореме Виета: для \(ax^2+bx+c=0\) \[ x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca. \] Например, в 2.31(1): \[ -\frac12+(-1)=-\frac32,\qquad \left(-\frac12\right)(-1)=\frac12. \] Всё сходится.
Обсуждение
4 сообщениянапиши нормально с решением, что б сразу переписать в тетрадь
Вот оформление строго по образцу из тетради, можно сразу переписывать:
2.31. Решите уравнение:
1) \(2x^{2} + 3x + 1 = 0\) \(a = 2; \ b = 3; \ c = 1\) \(D = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\) \(D > 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}\) \(x_{1} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5\) \(x_{2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1\) Ответ: \(x_{1} = -0,5; \ x_{2} = -1\).
2) \(2x^{2} + x + 2 = 0\) \(a = 2; \ b = 1; \ c = 2\) \(D = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15\) \(D < 0\) Ответ: корней нет.
3) \(4x^{2} + 4x + 1 = 0\) \(a = 4; \ b = 4; \ c = 1\) \(D = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0\) \(D = 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0,5\) Ответ: \(x = -0,5\).
4) \(x^{2} + 5x - 6 = 0\) \(a = 1; \ b = 5; \ c = -6\) \(D = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\) \(D > 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}\) \(x_{1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_{2} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) Ответ: \(x_{1} = 1; \ x_{2} = -6\).
2.32. Решите уравнение:
1) \(14x^{2} - 5x - 1 = 0\) \(a = 14; \ b = -5; \ c = -1\) \(D = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81\) \(D > 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 14} = \frac{5 \pm 9}{28}\) \(x_{1} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = 0,5\) \(x_{2} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}\) Ответ: \(x_{1} = 0,5; \ x_{2} = -\frac{1}{7}\).
2) \(2x^{2} + x + 67 = 0\) \(a = 2; \ b = 1; \ c = 67\) \(D = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 536 = -535\) \(D < 0\) Ответ: корней нет.
3) \(2p^{2} + 7p - 30 = 0\) \(a = 2; \ b = 7; \ c = -30\) \(D = b^{2} - 4ac = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289\) \(D > 0\) \(p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 17}{4}\) \(p_{1} = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\) \(p_{2} = \frac{-7 - 17}{4} = \frac{-24}{4} = -6\) Ответ: \(p_{1} = 2,5; \ p_{2} = -6\).
4) \(y^{2} - 3y - 5 = 0\) \(a = 1; \ b = -3; \ c = -5\) \(D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29\) \(D > 0\) \(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\) Ответ: \(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\).
а в 3 примере где х1,2 решение по отдельности
Понял, исправляю. Вот оформление с раздельной записью \(x_1\) и \(x_2\) (для 3-х примеров и 4-го из 2.32, где тоже есть формула с плюс-минусом):
2.31. 3) \(4x^{2} + 4x + 1 = 0\) \(a = 4; \ b = 4; \ c = 1\) \(D = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0\) \(D = 0\) \(x_{1,2} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0,5\) \(x_{1} = -0,5\) \(x_{2} = -0,5\) Ответ: \(x_{1} = -0,5; \ x_{2} = -0,5\).
2.32. 3) \(2p^{2} + 7p - 30 = 0\) \(a = 2; \ b = 7; \ c = -30\) \(D = b^{2} - 4ac = 7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289\) \(D > 0\) \(p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 17}{4}\) \(p_{1} = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\) \(p_{2} = \frac{-7 - 17}{4} = \frac{-24}{4} = -6\) Ответ: \(p_{1} = 2,5; \ p_{2} = -6\).
2.32. 4) \(y^{2} - 3y - 5 = 0\) \(a = 1; \ b = -3; \ c = -5\) \(D = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29\) \(D > 0\) \(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\) \(y_{1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}\) \(y_{2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}\) Ответ: \(y_{1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}; \ y_{2} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}\).
В 2.31(3) корень один, но так как ты просил по отдельности, я записал \(x_1\) и \(x_2\) отдельно — они равны. Так можно переписывать.
