Контрольная работа №2 по теме «Функции и их графики» Вариант 1. № 1. Область определения функции g — отрезок [-2; 6].

Кратко

1. Нули функции: \(x=-2,\ 3,\ 6\).
   Функция возрастает на \([1;4]\), убывает на \([-2;1]\) и \([4;6]\).
   Область значений: \([-3;2]\).

2. 1. \(x\ne \frac{1}{9}\), то есть \((-\infty;\frac{1}{9})\cup(\frac{1}{9};+\infty)\).
   2. \(x\ge \frac{3}{5}\), то есть \([\frac{3}{5};+\infty)\).

3. График \(y=x^2-6x+5\) — парабола с вершиной \((3;-4)\), ветви вверх.
   а) \(y=2{,}25\);
   б) \(x=3\pm\sqrt{3}\approx1{,}27\) и \(4{,}73\);
   в) нули: \(x=1\) и \(x=5\); \(y>0\) при \(x<1\) или \(x>5\); \(y<0\) при \(1<x<5\);
   г) убывает на \((-\infty;3]\), возрастает на \([3;+\infty)\).

4. Да, парабола и прямая пересекаются в двух точках: \[ \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{33-7\sqrt{17}}{2}\right),\qquad \left(\frac{7+\sqrt{17}}{2};\frac{33+7\sqrt{17}}{2}\right). \]

Как это получить

№1

• Нули функции — это такие \(x\), при которых \(g(x)=0\), то есть точки пересечения графика с осью \(Ox\). По графику: \(x=-2\), \(x=3\), \(x=6\).
• Возрастание — график идёт вверх слева направо; убывание — вниз. Поэтому функция возрастает на \([1;4]\), а убывает на \([-2;1]\) и \([4;6]\).
• Область значений — все значения \(y\), которые принимает график: от наименьшего \(y=-3\) до наибольшего \(y=2\), то есть \([-3;2]\).

№2

1. В дроби знаменатель не может быть равен нулю: \[ 9x-1\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\frac{1}{9}. \] Область определения: \[ (-\infty;\tfrac{1}{9})\cup(\tfrac{1}{9};+\infty). \]

2. Под корнем должно быть неотрицательное число: \[ 10x-6\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac{3}{5}. \] Область определения: \[ \left[\frac{3}{5};+\infty\right). \]

№3

Вершина параболы: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3,\qquad y_0=3^2-6\cdot3+5=-4. \] То есть вершина — \((3;-4)\). Парабола проходит, например, через точки:

а) При \(x=0{,}5\): \[ y=0{,}5^2-6\cdot0{,}5+5=0{,}25-3+5=2{,}25. \]

б) При \(y=-1\): \[ x^2-6x+5=-1 \quad\Rightarrow\quad x^2-6x+6=0, \] \[ x=3\pm\sqrt{3}. \] По графику это примерно \(x\approx1{,}3\) и \(x\approx4{,}7\).

в) Нули функции — точки пересечения с осью \(Ox\): \(x=1\) и \(x=5\).
Ветви параболы направлены вверх, поэтому:

• \(y>0\) вне промежутка между корнями: \((-\infty;1)\cup(5;+\infty)\);
• \(y<0\) между корнями: \((1;5)\).

г) До вершины \(x=3\) парабола убывает, после неё возрастает: \[ \text{убывает на }(-\infty;3],\qquad \text{возрастает на }[3;+\infty). \]

№4

Точка пересечения должна удовлетворять обоим уравнениям. Приравняем: \[ x^2=7x-8 \quad\Rightarrow\quad x^2-7x+8=0. \] Дискриминант: \[ D=(-7)^2-4\cdot1\cdot8=49-32=17>0. \] Значит, точки пересечения существуют — их две. Корни: \[ x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{17}}{2}. \] Ординаты находим из \(y=7x-8\): \[ y_{1,2}=\frac{33\pm7\sqrt{17}}{2}. \] Получаем точки: \[ \left(\frac{7-\sqrt{17}}{2};\frac{33-7\sqrt{17}}{2}\right), \qquad \left(\frac{7+\sqrt{17}}{2};\frac{33+7\sqrt{17}}{2}\right). \]

Проверка: по теореме Виета \(x_1+x_2=7\), \(x_1x_2=8\), что совпадает с уравнением \(x^2-7x+8=0\).