4 вариант 1. Вычислите: а) √0,36 - √0,01; б) 4 · √0,25; в) √1600 · √4.

Краткие ответы:

1. а) \(0,5\); б) \(2\); в) \(80\).
2. а) \(\frac{7}{9}\); б) \(10\); в) \(8\).
3. а) \(x = \pm 17\); б) \(x = \pm 0,5\).
4. а) \(8\); б) \(\frac{1}{49}\); в) \(\frac{1}{625}\).
5. а) \(z^3\); б) \(1,6pq\).
6. \((x - 8)^2 - 34\).

Как решать (ключевые шаги)

Задание 1. Квадратные корни

• а) \(\sqrt{0,36} = 0,6\), а \(\sqrt{0,01} = 0,1\). Вычитаем: \(0,6 - 0,1 = 0,5\).
• б) \(\sqrt{0,25} = 0,5\). Умножаем: \(4 \cdot 0,5 = 2\).
• в) \(\sqrt{1600} = 40\), \(\sqrt{4} = 2\). Умножаем: \(40 \cdot 2 = 80\).

Задание 2. Свойства корней

• а) Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя: \(\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \frac{7}{9}\).
• б) Произведение корней равно корню из произведения: \(\sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10\).
• в) Квадрат корня равен подкоренному числу: \((\sqrt{2})^2 = 2\). Тогда \(4 \cdot 2 = 8\).

Задание 3. Уравнения с квадратом

• а) \(x^2 = 289\). Извлекаем корень, не забывая про отрицательное значение: \(x = 17\) или \(x = -17\), то есть \(x = \pm 17\).
• б) Сначала перенесём число вправо: \(x^2 = 0,16 + 0,09 = 0,25\). Затем извлекаем корень: \(x = \pm 0,5\).

Задание 5. Свойства степеней

• а) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(2^9 \cdot 2^{-6} = 2^{9 + (-6)} = 2^3 = 8\).
• б) При делении показатели вычитаются: \(7^{-3} : 7^{-1} = 7^{-3 - (-1)} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\).
• в) При возведении степени в степень показатели перемножаются: \((5^{-2})^2 = 5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}\).

Задание 6. Упрощение выражений

• а) Сначала возводим в степень: \((z^{-4})^3 = z^{-12}\). Затем умножаем: \(z^{-12} \cdot z^{15} = z^{-12 + 15} = z^3\).
• б) Перемножаем отдельно числа и отдельно буквы с одинаковыми основаниями: \(3,2 \cdot 0,5 = 1,6\); \(p^5 \cdot p^{-4} = p^{5 + (-4)} = p^1 = p\); \(q^{-3} \cdot q^4 = q^{-3 + 4} = q^1 = q\). В итоге получаем \(1,6pq\).

Задание 7. Выделение квадрата двучлена Нужно представить \(x^2 - 16x + 30\) в виде \((x - a)^2 + b\).

1. Берём коэффициент при \(x\), он равен \(-16\). Делим его на 2: получаем \(-8\).
2. Возводим в квадрат: \((-8)^2 = 64\). Это число нужно для полного квадрата.
3. Прибавляем и вычитаем 64, чтобы не изменить выражение: \(x^2 - 16x + 30 = (x^2 - 16x + 64) - 64 + 30\).
4. Сворачиваем скобку по формуле квадрата разности и считаем числа: \((x - 8)^2 - 34\).

Проверка: раскроем скобки обратно: \((x - 8)^2 - 34 = x^2 - 16x + 64 - 34 = x^2 - 16x + 30\). Всё сходится.