Найдите такое наименьшее трехзначное натуральное число, что его сумма цифр и сумма цифр числа, следующего за ним, обе делятся на 4.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Задача 2

В качестве ответа введите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3

Введите целое число или десяти[обрезано]

Answer

Ответ: 129

Как рассуждать

Пусть $S(n)$ — сумма цифр числа $n$. Нужно, чтобы $S(n)$ и $S(n+1)$ делились на 4.

Шаг 1. Последняя цифра числа $n$.
Если последняя цифра не 9 (то есть от 0 до 8), то при прибавлении единицы переноса нет, и
$$
S(n+1)=S(n)+1.
$$
Два числа, отличающиеся на 1, не могут оба делиться на 4. Значит, $n$ обязано оканчиваться на 9.

Шаг 2. Случай окончания на 99.
Если $n$ оканчивается на 99, то $n+1$ оканчивается на 00, и сумма цифр уменьшается на $9+9-1=17$. Так как $17$ не делится на 4, из делимости $S(n)$ не следует делимость $S(n+1)$. Значит, предпоследняя цифра не 9.

Шаг 3. Ищем вид числа.
Пусть $n=100a+10b+9$, где $b\le 8$. Тогда
$$
S(n)=a+b+9,\qquad S(n+1)=a+b+1 .
$$
Разность равна 8, а $8$ делится на 4, поэтому условия совпадают:
$$
a+b+9\equiv 0 \pmod 4 \iff a+b\equiv 3 \pmod 4 .
$$

Шаг 4. Наименьшее число.
Берём наименьшую сотню: $a=1$. Тогда $b\equiv 2 \pmod 4$, то есть $b=2$ или $b=6$. Меньшее — $b=2$:
$$
n=129.
$$

Проверка

$129:\; 1+2+9=12$, $12:4=3$ — делится;

$130:\; 1+3+0=4$, $4:4=1$ — делится.

Почему меньше нельзя

До 129 подходят по сумме цифр только $103, 107, 112, 116, 121, 125$ (все не оканчиваются на 9), а также $109$ и $119$ с суммами $10$ и $11$ — не делятся на 4. Значит, 129 действительно наименьшее.