Решит

Краткий ответ

На экране два варианта, поэтому я решил оба.

1 вариант

1. \(x^2-11x+24=(x-3)(x-8)\)
2. \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)
3. \(-x^2-8x+9=-(x-1)(x+9)=(x+9)(1-x)\)
4. \(3x^2+5x-2=(3x-1)(x+2)\)
5. \(-5x^2+6x-1=-(5x-1)(x-1)=(5x-1)(1-x)\)

2 вариант

1. \(x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\)
2. \(x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\)
3. \(-x^2+5x-6=-(x-2)(x-3)=(2-x)(x-3)\)
4. \(5x^2+2x-3=(5x-3)(x+1)\)
5. \(-2x^2+9x-4=-(x-4)(2x-1)=(4-x)(2x-1)\)

Как это получается

Для квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) находят его корни \(x_1\) и \(x_2\). Тогда:

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \]

Если \(a=1\), корни часто удобно подбирать по теореме Виета:

\[ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c \]

Например:

\[ x^2-11x+24 \]

Нужны два числа, сумма которых \(11\), а произведение \(24\). Это \(3\) и \(8\), поэтому:

\[ x^2-11x+24=(x-3)(x-8) \]

Если перед \(x^2\) стоит коэффициент, он сохраняется в разложении. Например:

\[ 3x^2+5x-2 \]

Корни: \(x_1=\frac13\), \(x_2=-2\). Значит:

\[ 3x^2+5x-2=3\left(x-\frac13\right)(x+2)=(3x-1)(x+2) \]

Если перед \(x^2\) стоит минус, сначала удобно вынести его:

\[ -5x^2+6x-1=-(5x^2-6x+1) \]

Корни \(5x^2-6x+1\) равны \(1\) и \(\frac15\), поэтому:

\[ -5x^2+6x-1=-(5x-1)(x-1) \]

Проверка: раскрой скобки — должен получиться исходный трёхчлен. Например:

\[ (5x-3)(x+1)=5x^2+5x-3x-3=5x^2+2x-3 \]

Всё сходится.