91. Выполните действие: а) a²/(ax−x²)+x/(x−a); б) 1/(a²+ab)+1/(ab+b²)

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
91. Выполните действие:
а) $\frac{a^2}{ax-x^2}+\frac{x}{x-a}$;
б) $\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{ab+b^2}$;
в) $\frac{1}{b^2-ab}-\frac{1}{ab-a^2}$;
г) $\frac{b^2}{2y^2-by}-\frac{4y}{b-2y}$.

92. Преобразуйте в дробь выражение:
а) $1-\frac{a+b}{a-b}$;
б) $\frac{a^2+b^2}{a-b}-a$;
в) $m-n+\frac{n^2}{m+n}$;
г) $a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}$;
д) $x-\frac{9}{x-3}-3$;
е) $a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1$.

93. Выполните вычитание дробей:
а) $\frac{a^2+3a}{ab-5b+8a-40}-\frac{a}{b+8}$;
б) $\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{6xy+9x-4y-6}$.

94. Выполните действие:
а) $\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}$;
б) $\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}$.

Answer

На фото несколько номеров, поэтому ниже — решения всех полностью читаемых заданий: 91–94. Общий приём один: разложить знаменатели на множители, привести дроби к общему знаменателю, аккуратно раскрыть скобки в числителе и сократить. Если знаменатели противоположны, выгодно вынести минус: $x-a=-(a-x)$.

91.

а) $$
\frac{a^2}{ax-x^2}+\frac{x}{x-a}
=\frac{a^2}{x(a-x)}-\frac{x}{a-x}
=\frac{a^2-x^2}{x(a-x)}
=\frac{a+x}{x}.
$$

б) $$
\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{ab+b^2}
=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(a+b)}
=\frac{a+b}{ab(a+b)}
=\frac{1}{ab}.
$$

в) $$
\frac{1}{b^2-ab}-\frac{1}{ab-a^2}
=\frac{1}{b(b-a)}-\frac{1}{a(b-a)}
=\frac{a-b}{ab(b-a)}
=-\frac{1}{ab}.
$$

г) $$
\frac{b^2}{2y^2-by}-\frac{4y}{b-2y}
=\frac{b^2}{y(2y-b)}+\frac{4y}{2y-b}
=\frac{b^2+4y^2}{y(2y-b)}.
$$

92.

а) $$
1-\frac{a+b}{a-b}
=\frac{a-b-a-b}{a-b}
=-\frac{2b}{a-b}.
$$

б) $$
\frac{a^2+b^2}{a-b}-a
=\frac{a^2+b^2-a(a-b)}{a-b}
=\frac{b(a+b)}{a-b}.
$$

в) $$
m-n+\frac{n^2}{m+n}
=\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n}
=\frac{m^2}{m+n}.
$$

г) $$
a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}
=\frac{(a+b)^2-a^2-b^2}{a+b}
=\frac{2ab}{a+b}.
$$

д) $$
x-\frac{9}{x-3}-3
=x-3-\frac{9}{x-3}
=\frac{(x-3)^2-9}{x-3}
=\frac{x(x-6)}{x-3}.
$$

е) $$
a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1
=a^2+1-\frac{a^4+1}{a^2-1}
=\frac{(a^2+1)(a^2-1)-(a^4+1)}{a^2-1}
=-\frac{2}{a^2-1}.
$$

93.

а) $$
\frac{a^2+3a}{ab-5b+8a-40}-\frac{a}{b+8}
=\frac{a(a+3)}{(a-5)(b+8)}-\frac{a}{b+8}
=\frac{a(a+3)-a(a-5)}{(a-5)(b+8)}
=\frac{8a}{(a-5)(b+8)}.
$$

б) $$
\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{6xy+9x-4y-6}
=\frac{y}{3x-2}-\frac{3y}{(3x-2)(2y+3)}
=\frac{y(2y+3)-3y}{(3x-2)(2y+3)}
=\frac{2y^2}{(3x-2)(2y+3)}.
$$

94.

а) $$
\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}
=\frac{c}{b-c}+\frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}
=\frac{c(b+c)+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}
=\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}
=\frac{b-c}{b+c}.
$$

б) $$
\frac{a+3}{a^2-1}-\frac{1}{a^2+a}
=\frac{a+3}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}
=\frac{a(a+3)-(a-1)}{a(a-1)(a+1)}
=\frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)}
=\frac{a+1}{a(a-1)}.
$$

Все равенства — при значениях переменных, при которых исходные знаменатели не равны нулю. После сокращения эти ограничения не «исчезают»: например, в 94 а) по-прежнему $b\ne c$.

Проверка одного ответа: в 92 а) при $a=3,\ b=1$ левая часть равна $1-\frac{4}{2}=-1$, правая — $-\frac{2}{2}=-1$. Верно.