номер 92

Question

номер 92

Расшифровка фото нейросетью:
92. Преобразуйте в дробь выражение:
а) $1-\frac{a+b}{a-b}$;
б) $\frac{a^2+b^2}{a-b}-a$;
в) $m-n+\frac{n^2}{m+n}$;
г) $a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}$;
д) $x-\frac{9}{x-3}-3$;
е) $a^2-\frac{a^2+1}{a^2-1}+1$.

Answer

Краткий ответ

а) $1-\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{2b}{b-a}$, $a\ne b$;

б) $\dfrac{a^2+b^2}{a-b}-a=\dfrac{b(a+b)}{a-b}$, $a\ne b$;

в) $m-n+\dfrac{n^2}{m+n}=\dfrac{m^2}{m+n}$, $m\ne -n$;

г) $a+b-\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\dfrac{2ab}{a+b}$, $a\ne -b$;

д) $x-\dfrac{9}{x-3}-3=\dfrac{x(x-6)}{x-3}$, $x\ne 3$;

е) $a^2-\dfrac{a^2+1}{a^2-1}+1=\dfrac{(a^2+1)(a^2-2)}{a^2-1}$, $a\ne \pm1$.

Как получается

Общий приём: целое выражение записываем как дробь со знаменателем $1$, затем приводим к общему знаменателю. При вычитании дроби её числитель обязательно берём в скобки — здесь чаще всего теряют минус.

а)
$$
1-\frac{a+b}{a-b}
=\frac{a-b-(a+b)}{a-b}
=\frac{-2b}{a-b}.
$$

б)
$$
\frac{a^2+b^2}{a-b}-a
=\frac{a^2+b^2-a(a-b)}{a-b}
=\frac{b^2+ab}{a-b}
=\frac{b(a+b)}{a-b}.
$$

в)
$$
m-n+\frac{n^2}{m+n}
=\frac{(m-n)(m+n)+n^2}{m+n}
=\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n}
=\frac{m^2}{m+n}.
$$

г)
$$
a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}
=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{a+b}
=\frac{2ab}{a+b}.
$$

д)
$$
x-\frac{9}{x-3}-3
=(x-3)-\frac{9}{x-3}
=\frac{(x-3)^2-9}{x-3}
=\frac{x(x-6)}{x-3}.
$$

е)
$$
a^2-\frac{a^2+1}{a^2-1}+1
=(a^2+1)-\frac{a^2+1}{a^2-1}
=(a^2+1)\left(1-\frac{1}{a^2-1}\right)
=\frac{(a^2+1)(a^2-2)}{a^2-1}.
$$

Проверка

Например, в а) при $a=2,\ b=1$:
$$
1-\frac{3}{1}=-2,\qquad \frac{2}{1-2}=-2.
$$
В е) при $a=2$ обе части дают $\frac{10}{3}$. Значит, преобразования выполнены верно.

Главное правило: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Ограничения берутся из исходных знаменателей — на ноль делить нельзя.