номер 92

Question

номер 92

Расшифровка фото нейросетью:
92. Преобразуйте в дробь выражение:
а) $1-\frac{a+b}{a-b}$;
б) $\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}-a$;
в) $m-n+\frac{n^{2}}{m+n}$;
г) $a+b-\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$;
д) $x-\frac{9}{x-3}-3$;
е) $a^{2}-\frac{a^{4}+1}{a^{2}-1}+1$.

Answer

Краткий ответ

а) $-\dfrac{2b}{a-b}$, или $\dfrac{2b}{b-a}$;

б) $\dfrac{b(a+b)}{a-b}$;

в) $\dfrac{m^2}{m+n}$;

г) $\dfrac{2ab}{a+b}$;

д) $\dfrac{x(x-6)}{x-3}$;

е) $-\dfrac{2}{a^2-1}$, или $\dfrac{2}{1-a^2}$.

Ограничения: $a\ne b$ в пунктах а, б; $m\ne -n$ в пункте в; $a\ne -b$ в пункте г; $x\ne 3$ в пункте д; $a\ne \pm1$ в пункте е.

Как это получается

Общий приём: целое выражение записываем как дробь со знаменателем $1$, затем приводим всё к общему знаменателю. После вычитания числитель обязательно берём в скобки.

а)
$$
1-\frac{a+b}{a-b}
=\frac{a-b}{a-b}-\frac{a+b}{a-b}
=\frac{a-b-a-b}{a-b}
=-\frac{2b}{a-b}.
$$

б)
$$
\frac{a^2+b^2}{a-b}-a
=\frac{a^2+b^2-a(a-b)}{a-b}
=\frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b}
=\frac{b(a+b)}{a-b}.
$$

в)
$$
m-n+\frac{n^2}{m+n}
=\frac{(m-n)(m+n)+n^2}{m+n}
=\frac{m^2-n^2+n^2}{m+n}
=\frac{m^2}{m+n}.
$$

г)
$$
a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b}
=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{a+b}
=\frac{2ab}{a+b}.
$$

д)
$$
x-\frac{9}{x-3}-3
=(x-3)-\frac{9}{x-3}
=\frac{(x-3)^2-9}{x-3}
=\frac{x(x-6)}{x-3}.
$$

е)
$$
a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1
=(a^2+1)-\frac{a^4+1}{a^2-1}
=\frac{(a^2+1)(a^2-1)-(a^4+1)}{a^2-1}
$$
$$
=\frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1}
=-\frac{2}{a^2-1}.
$$

Проверка для пункта е: при $a=2$ слева получается $4-\frac{17}{3}+1=-\frac23$, справа $-\frac{2}{4-1}=-\frac23$. Совпадает.

Главное: сначала общий знаменатель, потом аккуратно раскрыть скобки в числителе — именно там чаще всего теряется знак минус.