Номер 122

Краткий ответ:
а) \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим углам.
б) \(AB = 11\) см, \(BC = 19\) см.

Решение и объяснение:

На рисунке 53 диагональ \(AC\) делит четырёхугольник \(ABCD\) на два треугольника: \(ABC\) и \(CDA\). У них есть общая сторона \(AC\).

а) Докажем равенство треугольников.
Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\):

• \(AC\) — общая сторона;
• \(\angle 1 = \angle 2\) и \(\angle 3 = \angle 4\) по условию. Эти углы прилежат к стороне \(AC\).

Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам — это второй признак равенства треугольников. Поэтому \[ \triangle ABC = \triangle CDA. \]

б) Найдём \(AB\) и \(BC\).
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны:

• против \(\angle 1\) и \(\angle 2\) лежат стороны \(BC\) и \(AD\), поэтому \[ BC = AD = 19 \text{ см}; \]
• против \(\angle 3\) и \(\angle 4\) лежат стороны \(AB\) и \(CD\), поэтому \[ AB = CD = 11 \text{ см}. \]

Проверка:
Получилось, что противоположные стороны четырёхугольника попарно равны: \(AB = CD = 11\) см и \(BC = AD = 19\) см. Это согласуется с равенством треугольников.

Ответ: \(AB = 11\) см, \(BC = 19\) см.