проверь высказывания до 18 параграфа

Показываю проверку так, как я её делал: сначала вывод, потом построения и доказательства. Все пять формулировок со с. 34–35 верны.

1. Определение высоты

Чертёж. Нарисуй остроугольный \(\triangle ABC\). Из вершины \(A\) опусти перпендикуляр на прямую \(BC\), основание обозначь \(H\). Отметь \(\angle AHB=90^\circ\).

Отдельно нарисуй тупоугольный треугольник: если угол \(C\) тупой, то перпендикуляр из \(A\) падает на продолжение стороны \(BC\) за точку \(C\). Основание высоты окажется вне треугольника.

Вывод. Высота — это перпендикуляр именно к прямой, содержащей противоположную сторону, поэтому её основание может лежать вне отрезка. Определение верное.

2. В любом треугольнике три высоты

Чертежи:

• остроугольный: все три перпендикуляра из вершин падают на сами стороны;
• прямоугольный: две высоты совпадают с катетами, третья проведена к гипотенузе;
• тупоугольный: две высоты падают на продолжения сторон.

Почему верно. Через точку вне прямой проходит ровно один перпендикуляр к этой прямой. Значит, из каждой из трёх вершин можно провести ровно одну высоту. Поэтому высот всегда три.

3. Медианы пересекаются в одной точке

Чертёж. Обозначь середины сторон:

\[ A_1 \text{ — середина } BC,\quad B_1 \text{ — середина } AC,\quad C_1 \text{ — середина } AB. \]

Проведи \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\). Точку пересечения обозначь \(M\).

Проверка линейкой. Должно получиться:

\[ AM\approx 2MA_1,\qquad BM\approx 2MB_1,\qquad CM\approx 2MC_1. \]

Доказательство. Отрезок \(A_1B_1\) — средняя линия \(\triangle ABC\), поэтому

\[ A_1B_1\parallel AB,\qquad A_1B_1=\frac12 AB. \]

Треугольники \(AMB\) и \(A_1MB_1\) подобны: углы при \(M\) вертикальные, а \(\angle MAB=\angle MA_1B_1\) как накрест лежащие при параллельных прямых. Коэффициент подобия равен

\[ \frac{AB}{A_1B_1}=2. \]

Значит,

\[ AM:MA_1=2:1. \]

Осталось показать, что третья медиана \(CC_1\) проходит через ту же точку \(M\). Пусть \(N=AA_1\cap CC_1\). Для медиан \(AA_1\) и \(CC_1\) такое же рассуждение даёт

\[ AN:NA_1=2:1. \]

Но на отрезке \(AA_1\) есть только одна точка, делящая его в отношении \(2:1\) от вершины \(A\). Это точка \(M\). Значит, \(N=M\), то есть \(CC_1\) тоже проходит через \(M\).

4. Биссектрисы пересекаются в одной точке

Чертёж. Проведи биссектрисы углов \(A\) и \(B\), точку пересечения обозначь \(I\). Из \(I\) опусти перпендикуляры:

\[ ID\perp AB,\qquad IE\perp BC,\qquad IF\perp AC. \]

Проверка. Измерь \(ID\), \(IE\), \(IF\) — они должны быть равны. Если провести окружность с центром \(I\) и радиусом \(ID\), она коснётся всех трёх сторон.

Доказательство. Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Поэтому:

• \(I\) лежит на биссектрисе \(\angle A\), значит \(ID=IF\);
• \(I\) лежит на биссектрисе \(\angle B\), значит \(ID=IE\).

Следовательно,

\[ IE=IF. \]

Точка \(I\) находится внутри угла \(C\) и равноудалена от его сторон \(BC\) и \(AC\). Значит, она лежит на биссектрисе угла \(C\). Поэтому все три биссектрисы проходят через \(I\). Это центр вписанной окружности.

5. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке

Чертёж-доказательство. Через вершины \(\triangle ABC\) проведи:

\[ a\parallel BC,\qquad b\parallel AC,\qquad c\parallel AB. \]

Пусть

\[ A'=b\cap c,\qquad B'=a\cap c,\qquad C'=a\cap b. \]

Получился большой треугольник \(A'B'C'\). В нём точки \(A,B,C\) являются серединами сторон \(B'C'\), \(A'C'\), \(A'B'\) соответственно.

Прямая, содержащая высоту из \(A\), перпендикулярна \(BC\), а значит, и \(B'C'\). Кроме того, она проходит через середину \(A\) стороны \(B'C'\). Поэтому эта прямая — серединный перпендикуляр к \(B'C'\).

Аналогично две другие высотные прямые являются серединными перпендикулярами к двум другим сторонам \(\triangle A'B'C'\).

Серединные перпендикуляры любого треугольника пересекаются в одной точке: если \(O\) — точка пересечения двух из них, то \(OA'=OB'\) и \(OB'=OC'\), поэтому \(OA'=OC'\), и \(O\) лежит на третьем серединном перпендикуляре.

Значит, высоты \(\triangle ABC\) или их продолжения тоже пересекаются в одной точке.

Что должно получиться у тебя на чертеже

• В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри и пересекаются в одной точке.
• В прямоугольном — две высоты совпадают с катетами, все три проходят через вершину прямого угла.
• В тупоугольном — две высоты лежат вне треугольника, но их продолжения пересекаются с третьей в одной точке.
• Медианы делятся точкой пересечения в отношении \(2:1\), считая от вершины.
• Биссектрисы пересекаются в точке, равноудалённой от всех сторон.

Если нужно, отдельно покажу чертёж и доказательство теоремы из §18 — о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника.

Рисую схемами. Пропорции на рисунках примерные — важны не они, а перпендикулярность и общая точка. В тетради строй линейкой и угольником.

1. Остроугольный треугольник — все высоты внутри (рис. 68, а)

                  A
                 /|\
                / | \
               /  |  \
              /   |   \
             H3   |   H2
            /  ·  |  ·  \
           /    · | ·    \
          /      ·H·      \
         B---------|---------C
                  H1

Три высоты \(AH_1\), \(BH_2\), \(CH_3\) проходят через одну точку \(H\) (ортоцентр) — она внутри треугольника.

2. Прямоугольный треугольник — две высоты это катеты (рис. 68, в)

        C
        |\
        | \
        |  \
        |   \
        |    \
        A----H----B

Угол \(C\) прямой. Высота из \(A\) — это \(AC\), высота из \(B\) — это \(BC\), высота из \(C\) — \(CH\). Все три проходят через \(C\), то есть \(H\) совпадает с вершиной прямого угла.

3. Тупоугольный треугольник — две высоты вне его (рис. 68, б)

              H
             /|\
            / | \
           /  |  \
          H3  |  H2
         /  \ | /  \
        A-----\C/----B
               |
              H1

Угол \(C\) тупой. Высота из \(C\) идёт на \(AB\) (точка \(H_1\)). А высоты из \(A\) и \(B\) падают на продолжения сторон \(CB\) и \(CA\) — в точки \(H_3\) и \(H_2\), и все три прямые встречаются в \(H\) снаружи треугольника.

4. Медианы и точка \(M\)

                 A
                /|\
               / | \
              /  |  \
             C1  |  B1
            / \  |  / \
           /   \ | /   \
          /     \M/     \
         B-------A1------C

\(A_1\) — середина \(BC\), \(B_1\) — середина \(AC\), \(C_1\) — середина \(AB\). Все три медианы проходят через \(M\), причём

\[ AM:MA_1=BM:MB_1=CM:MC_1=2:1 \]

(считая от вершины).

5. Биссектрисы и вписанная окружность

                 A
                /|\
               / | \
              /  |  \
             /  (I)  \
            /  / | \  \
           B-----------------C

Точка \(I\) — пересечение биссектрис. Она равноудалена от всех сторон: \(ID=IE=IF\). Окружность радиуса \(ID\) с центром \(I\) касается всех трёх сторон — это вписанная окружность.

6. §18. Равнобедренный треугольник

                 B
                /|\
               / | \
              /  |  \
             /   |   \
            A----D----C

\(AB=BC\), \(D\) — середина \(AC\). Тогда \(BD\) одновременно медиана, биссектриса и высота, а углы при основании равны: \(\angle A=\angle C\). Именно это и доказывается в §18 (признак: если два угла равны, то треугольник равнобедренный).

---

Что проверить на своих чертежах:

• высоты должны быть под прямым углом к стороне (или её продолжению) — это видно по угольнику;
• у медиан основания делят сторону пополам;
• у биссектрис точка \(I\) одинаково далеко от всех трёх сторон.

Если хочешь, дам координаты всех точек по клеточкам, чтобы чертёж получился точным без подбора.