1. Даны векторы a (2; 0) и b (1; 4). Найдите длину вектора a + 3b. 2. Даны векторы a (20; −11), b (1; 4) и c (−2; 0). Найдите длину вектора

Краткие ответы:

В кадре два разных пункта с номером 2 — решаю оба.

Что нужно помнить: \[ \vec u=(x_1;y_1),\quad \vec v=(x_2;y_2) \] \[ k\vec u=(kx_1;ky_1),\qquad \vec u+\vec v=(x_1+x_2;y_1+y_2) \] \[ |\vec u|=\sqrt{x_1^2+y_1^2} \] \[ \vec u\cdot\vec v=x_1x_2+y_1y_2 \] \[ \vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\varphi \]

1. Длина \(\vec a+3\vec b\)

Дано: \[ \vec a=(2;0),\qquad \vec b=(1;4) \]

Сначала: \[ 3\vec b=(3;12) \]

Тогда: \[ \vec a+3\vec b=(2+3;\ 0+12)=(5;12) \]

Длина: \[ |\vec a+3\vec b|=\sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144} =\sqrt{169}=13 \]

Ответ: \(13\).

2, верхний пункт. Длина \(\vec a-6\vec b+\vec c\)

Дано: \[ \vec a=(20;-11),\quad \vec b=(1;4),\quad \vec c=(-2;0) \]

Сначала: \[ -6\vec b=(-6;-24) \]

Складываем координаты: \[ \vec a-6\vec b+\vec c =(20-6-2;\ -11-24+0) =(12;-35) \]

Длина: \[ \sqrt{12^2+(-35)^2} =\sqrt{144+1225} =\sqrt{1369}=37 \]

Ответ: \(37\).

2, нижний пункт. Скалярное произведение

Дано: \[ \vec a=(14;-2),\qquad \vec b=(5;-8) \]

По координатам: \[ \vec a\cdot\vec b =14\cdot5+(-2)\cdot(-8) =70+16=86 \]

Ответ: \(86\).

3. Скалярное произведение через угол

Дано: \[ |\vec a|=3,\qquad |\vec b|=7,\qquad \varphi=60^\circ \]

Формула: \[ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi \]

Подставляем: \[ \vec a\cdot\vec b =3\cdot7\cdot\cos60^\circ =21\cdot\frac12 =10{,}5 \]

Ответ: \(10{,}5\).