515 пример

Короткий ответ: \(\frac{2}{15}\) всех туристов знают оба языка — при обычном школьном допущении, что каждый турист знает хотя бы один из этих двух языков.

Как рассуждать:

1. Примем всех туристов за целое: \[ 1=\frac{15}{15}. \]

2. Английский знают \[ \frac{4}{5}=\frac{12}{15}, \] а немецкий — \[ \frac{1}{3}=\frac{5}{15}. \]

3. Если просто сложить эти доли, получим: \[ \frac{12}{15}+\frac{5}{15}=\frac{17}{15}. \] Это больше целого на \(\frac{2}{15}\). Так получилось потому, что туристов, знающих оба языка, мы посчитали дважды: и среди знающих английский, и среди знающих немецкий.

4. Значит, оба языка знают \[ \frac{2}{15} \] туристов.

Проверка:

• только английский: \(\frac{12}{15}-\frac{2}{15}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\);
• только немецкий: \(\frac{5}{15}-\frac{2}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\);
• оба языка: \(\frac{2}{15}\).

Сумма: \[ \frac{10}{15}+\frac{3}{15}+\frac{2}{15}=1. \] Всё сходится.

Важно: в условии прямо не сказано, что каждый турист знает хотя бы один язык. Если есть туристы, не знающие ни одного, то оба языка знают \(\frac{2}{15}+x\), где \(x\) — доля таких туристов. Школьный ответ \(\frac{2}{15}\) соответствует случаю, когда таких туристов нет.