Домашнее задание к уроку по теме: «Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» 1. Найдите допустимые значения переменных

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Домашнее задание к уроку по теме:
«Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»

1. Найдите допустимые значения переменных:
а) $\frac{5}{x+7}$,
б) $\frac{y}{y-2}+\frac{y-2}{y}$,
в) $\frac{z}{z^{2}+8}$.

2. Найдите недопустимые значения переменных:
а) $\frac{7}{x-5}$,
б) $\frac{2y(x-9)}{y(x+3)}$,
в) $\frac{y^{2}-9}{3y+9}$.

3. При каких значениях переменных выражение имеет смысл:
а) $\frac{14}{x}+\frac{x}{14}$,
б) $\frac{z+3}{(z-3)(2z+6)}$,
в) $\frac{x^{2}-9}{x^{2}+9}$.

4. При каких значениях переменных дробь не имеет смысла:
а) $\frac{n-2}{3n-12}$,
б) $\frac{x+4}{x^{2}+4}$,
в) $\frac{y(y-5)}{y^{3}(4y-24)}$.

Answer

Краткий ответ

1. Допустимые значения (знаменатель $\neq 0$):
а) $x\neq -7$; б) $y\neq 2,\ y\neq 0$; в) любые $z$ (ограничений нет).

2. Недопустимые значения (знаменатель $=0$):
а) $x=5$; б) $y=0,\ x=-3$; в) $y=-3$.

3. Выражение имеет смысл:
а) $x\neq 0$; б) $z\neq 3,\ z\neq -3$; в) любые $x$ (ограничений нет).

4. Дробь не имеет смысла:
а) $n=4$; б) таких значений нет — дробь имеет смысл при всех $x$; в) $y=0,\ y=6$.

Как это устроено

Дробь $\frac{A}{B}$ имеет смысл только при $B\neq 0$: на ноль делить нельзя. Значит, всё сводится к одному действию — приравнять знаменатель к нулю и посмотреть, при каких значениях переменной он обнуляется. Эти значения и есть недопустимые, а все остальные — допустимые. Если уравнение «знаменатель $=0$» не имеет решений, ограничений нет вообще.

Дальше — по номерам.

1. Допустимые значения. Решаем $B=0$ и исключаем найденное:
а) $x+7=0\Rightarrow x=-7$ — остальные $x$ годятся;
б) здесь два знаменателя, оба должны быть не равны нулю: $y-2=0\Rightarrow y=2$ и $y=0$. Исключаем оба;
в) $z^{2}+8=0\Rightarrow z^{2}=-8$ — корней нет, так как $z^{2}+8\ge 8>0$. Ограничений нет.

2. Недопустимые значения. Здесь наоборот — нужны сами «запрещённые» числа:
а) $x-5=0\Rightarrow x=5$;
б) $y(x+3)=0\Rightarrow y=0$ или $x=-3$. Множитель $x-9$ в числителе на смысл не влияет;
в) $3y+9=0\Rightarrow y=-3$. Важно: $y=3$ обращает числитель в нуль, но дробь при этом имеет смысл (она равна нулю), поэтому $y=3$ недопустимым не является.

3. «Имеет смысл» — тот же вопрос, что и в № 1:
а) $x\neq 0$ (второе слагаемое $\frac{x}{14}$ безопасно при любом $x$);
б) $(z-3)(2z+6)=0\Rightarrow z=3$ или $z=-3$ — их исключаем;
в) $x^{2}+9>0$ при любом $x$ — выражение определено всегда.

4. «Не имеет смысла» — тот же вопрос, что и в № 2:
а) $3n-12=0\Rightarrow n=4$;
б) $x^{2}+4=0\Rightarrow x^{2}=-4$ — решений нет, значит запрещённых значений нет;
в) $y^{3}(4y-24)=0\Rightarrow y=0$ или $4y=24\Rightarrow y=6$.

Проверка идеи на примерах

Подставим в № 2в $y=3$: $\frac{9-9}{9+9}=\frac{0}{18}=0$ — значение существует, значит $y=3$ мы исключили правильно не стали.

Подставим в № 4б $x=0$: $\frac{4}{4}=1$ — считается, хотя числитель и знаменатель «красиво» не сокращаются. Единственная опасность — нулевой знаменатель, а он нулём быть не может.

В № 1б при $y=2$: второе слагаемое $\frac{0}{2}=0$, а первое $\frac{2}{0}$ — не существует. Поэтому одного неравенства $y\neq 0$ мало: проверять нужно каждый знаменатель.