Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получается

Способ 1. Через дискриминант (работает всегда)

Здесь \(a=1,\; b=-5,\; c=6\):

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. Разложение на множители (быстрее, если коэффициенты простые)

Нужны два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении 6 — это 2 и 3. Значит:

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Способ 3. Теорема Виета (для приведённого уравнения, где \(a=1\))

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем: 2 и 3. Это тот же приём, что и в способе 2, только записанный через сумму и произведение.

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: дискриминант показывает, сколько корней (\(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет), а Виета и разложение на множители удобны, когда корни — целые числа.

Небольшое замечание: на фото — задание по физике (параграфы 21–22), а не это уравнение. Если нужно, разберу и его.