Контрольная работа по теме «Четырехугольники» Вариант 2.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа по теме «Четырехугольники» Вариант 2.
- На рисунке \(KMNP\) — трапеция, \(CM \parallel PK\), \(CK \parallel MN\), \(MN=KM\), \(KM\neq KP\). Укажите верные утверждения:
- \(PKMC\) — параллелограмм
- \(PKMC\) — ромб
- \(CKMN\) — ромб
- \(\angle KCM=\angle MCN\)
- \(\angle PCK=\angle KCM\) [Рисунок: трапеция \(KMNP\); \(K\) и \(M\) — верхние вершины, \(P\) и \(N\) — нижние; точка \(C\) лежит на стороне \(PN\); проведены отрезки \(KC\) и \(MC\).]
Сделайте чертеж и запишите ответ к задаче Диагонали прямоугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите периметр треугольника \(BOC\), если \(AB=15\), \(AD=20\), \(BD=25\).
Выполните чертеж, запишите краткое решение и ответ. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой. Найдите длину меньшей стороны, если периметр параллелограмма равен 36 см.
Выполните чертеж, запишите обоснованное решение и ответ. На рисунке \(ABCD\) — ромб, \(\angle BAD=160^\circ\). Найдите углы треугольника \(AOB\). [Рисунок: ромб \(ABCD\) с диагоналями \(AC\) и \(BD\), пересекающимися в точке \(O\).]
Выполните чертеж, запишите обоснованное решение и ответ. В параллелограмме \(BCDE\) биссектриса угла \(E\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(H\), причем \(BH=9\), \(CH=8\). Найдите периметр параллелограмма.
На фото пять заданий — привожу ответы и объяснения ко всем.
Краткие ответы
- Верны утверждения 1, 3, 4.
- \(P_{BOC}=45\).
- Меньшая сторона равна \(3\) см.
- \(\angle AOB=90^\circ,\ \angle OAB=80^\circ,\ \angle ABO=10^\circ\).
- Периметр параллелограмма равен \(52\).
1. Трапеция \(KMNP\)
Так как \(KMNP\) — трапеция, то \(KM\parallel PN\). Точка \(C\) лежит на \(PN\), поэтому \(KM\parallel CP\).
- Дано \(CM\parallel PK\). Значит, в четырёхугольнике \(PKMC\) обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(PKMC\) — параллелограмм. Утверждение 1 верно.
- У этого параллелограмма соседние стороны \(PK\) и \(KM\) не равны по условию \(KM\ne KP\), значит, он не ромб. Утверждение 2 неверно.
- В \(CKMN\): \(CK\parallel MN\), а \(KM\parallel CN\). Значит, это параллелограмм. Кроме того, \(KM=MN\), то есть соседние стороны равны. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб. Утверждение 3 верно.
- В ромбе диагональ делит угол пополам. Диагональ \(CM\) ромба \(CKMN\) делит угол \(KCN\), поэтому \(\angle KCM=\angle MCN\). Утверждение 4 верно.
- Если бы \(\angle PCK=\angle KCM\), то диагональ \(CK\) параллелограмма \(PKMC\) делила бы угол \(PCM\) пополам. Это возможно только в ромбе, а \(PKMC\) не ромб. Утверждение 5 неверно.
Ответ: 1, 3, 4.
2. Прямоугольник \(ABCD\)
В прямоугольнике противоположные стороны равны: \[ BC=AD=20. \]
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ BO=OC=\frac{BD}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5. \]
Тогда \[ P_{BOC}=BO+OC+BC=12{,}5+12{,}5+20=45. \]
Ответ: \(45\).
3. Параллелограмм
Пусть меньшая сторона равна \(x\), тогда большая равна \(5x\).
Периметр: \[ P=2(x+5x)=12x. \] По условию: \[ 12x=36, \] \[ x=3. \]
Значит, меньшая сторона равна \(3\) см. Проверка: стороны \(3\) и \(15\), периметр \(2(3+15)=36\).
Ответ: \(3\) см.
4. Ромб \(ABCD\), \(\angle BAD=160^\circ\)
В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому \[ \angle AOB=90^\circ. \]
Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\), значит: \[ \angle OAB=\frac{160^\circ}{2}=80^\circ. \]
В треугольнике \(AOB\): \[ \angle ABO=180^\circ-90^\circ-80^\circ=10^\circ. \]
Проверка: \(90^\circ+80^\circ+10^\circ=180^\circ\).
Ответ: \[ \angle AOB=90^\circ,\quad \angle OAB=80^\circ,\quad \angle ABO=10^\circ. \]
5. Параллелограмм \(BCDE\)
Так как в параллелограмме \(BC\parallel DE\), а \(EH\) — биссектриса угла \(E\), получаем: \[ \angle DEH=\angle EHB \] как накрест лежащие углы, и \[ \angle DEH=\angle HEB \] по свойству биссектрисы.
Значит, \[ \angle HEB=\angle EHB. \] Тогда треугольник \(EBH\) равнобедренный: \[ BE=BH=9. \]
Далее: \[ BC=BH+HC=9+8=17. \]
Периметр параллелограмма: \[ P=2(BE+BC)=2(9+17)=2\cdot 26=52. \]
Ответ: \(52\).
Обсуждение
4 сообщенияНарисуй чертеж к 2 номеру и к 3
Вот схематические чертежи к задачам 2 и 3. Масштаб не соблюдён — важны обозначения и размеры.
Задача 2
Прямоугольник \(ABCD\), диагонали пересекаются в точке \(O\):
B ─────────────── C
│ \ / │
│ \ / │
15 │ \ O / │ BC = 20
│ / \ │
│ / \ │
│ / \ │
A ─────────────── D
20
На чертеже:
- \(AB=15\), \(AD=BC=20\);
- диагональ \(BD=25\), диагональ \(AC=25\);
- \(O\) — точка пересечения диагоналей;
- \(BO=OC=12{,}5\).
Треугольник \(BOC\) — верхний треугольник с основанием \(BC\). Его периметр: \[ P_{BOC}=12{,}5+12{,}5+20=45. \]
Задача 3
Параллелограмм \(ABCD\), где меньшая сторона \(AB=3\) см, большая \(AD=15\) см:
B ───────────────── C
/ /
/ /
A ───────────────── D
На чертеже:
- \(AB=CD=3\) см — меньшие стороны;
- \(AD=BC=15\) см — большие стороны;
- периметр \(P=36\) см.
Проверка: \[ P=2(3+15)=36. \]
Если нужно, могу дополнительно расписать, как построить эти чертежи по клеточкам.
Довай
Давай. На чертеже можно взять уменьшенный масштаб — главное правильно подписать настоящие длины.
Задача 2
Удобный масштаб: \(1\) клетка \(=2{,}5\) см. Тогда:
\[ AB=15\text{ см}=6\text{ клеток},\quad AD=20\text{ см}=8\text{ клеток}, \] \[ BD=25\text{ см}=10\text{ клеток}. \]
Получается прямоугольник \(6\times 8\) клеток, а его диагональ — \(10\) клеток.
Как строить:
- Поставь точку \(A\).
- Отложи вправо \(8\) клеток — получишь \(D\).
- Вверх от \(A\) отложи \(6\) клеток — получишь \(B\).
- Вверх от \(D\) отложи \(6\) клеток — получишь \(C\).
- Соедини \(A-B-C-D\).
- Проведи диагонали \(AC\) и \(BD\). Их пересечение — точка \(O\).
- Закрась треугольник \(BOC\).
Схема:
B ───────── C
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
│ O │
│ ╱ ╲ │
│ ╱ ╲ │
A ───────── D
Подпиши на чертеже:
\(AB=15\), \(AD=BC=20\), \(BD=AC=25\),
\(BO=OC=12{,}5\) см.
Периметр треугольника \(BOC\): \[ P_{BOC}=12{,}5+12{,}5+20=45. \]
Задача 3
Масштаб: \(1\) клетка \(=1{,}5\) см. Тогда:
\[ AD=BC=15\text{ см}=10\text{ клеток}, \] \[ AB=CD=3\text{ см}=2\text{ клетки}. \]
Как строить:
- Поставь точку \(A\).
- Отложи вправо \(10\) клеток — получишь \(D\).
- Из \(A\) проведи наклонную сторону \(AB\) длиной \(2\) клетки. Например, под углом около \(60^\circ\): примерно \(1\) клетка вправо и \(1{,}7\) клетки вверх.
- От \(B\) отложи вправо \(10\) клеток — получишь \(C\). Сторона \(BC\) должна быть параллельна \(AD\).
- Соедини \(C\) и \(D\). Сторона \(CD\) должна быть параллельна и равна \(AB\).
Схема:
B──────────C
/ /
A──────────D
Подпиши: \[ AD=BC=15\text{ см},\qquad AB=CD=3\text{ см}. \]
Наклонная сторона не обязана попадать точно в узлы сетки — для чертежа это нормально. Главное, чтобы \(BC\parallel AD\) и \(CD\parallel AB\).
