5. Дано: △ABC, AB = BC, AK и CM — медианы. Докажите: а) AK = CM; б) ∠BAK = ∠BCM; в) ∠KAC = ∠MCA.

Кратко: все три равенства верны: \[ AK=CM,\qquad \angle BAK=\angle BCM,\qquad \angle KAC=\angle MCA. \]

Доказательство

Так как \(AK\) и \(CM\) — медианы, то \[ K \text{ — середина } BC,\qquad M \text{ — середина } AB. \] Значит, \[ BK=\frac{BC}{2},\qquad BM=\frac{AB}{2}. \] По условию \(AB=BC\), поэтому \[ BK=BM. \] Кроме того, \(KC=AM\), так как это тоже половины равных сторон.

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(CBM\):

• \(AB=CB\) — дано;
• \(BK=BM\) — доказали выше;
• \(\angle ABK=\angle CBM\), потому что \(BK\) лежит на \(BC\), а \(BM\) лежит на \(BA\); оба угла равны \(\angle ABC\).

Следовательно, \[ \triangle ABK=\triangle CBM \] по двум сторонам и углу между ними.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому: \[ AK=CM, \] то есть пункт а) доказан, и \[ \angle BAK=\angle BCM, \] то есть пункт б) доказан.

Для пункта в) используем равнобедренный треугольник \(ABC\). Так как \(AB=BC\), углы при основании \(AC\) равны: \[ \angle BAC=\angle BCA. \] При этом \[ \angle KAC=\angle BAC-\angle BAK, \] \[ \angle MCA=\angle BCA-\angle BCM. \] По доказанному в пункте б) \(\angle BAK=\angle BCM\), а \(\angle BAC=\angle BCA\). Значит, равны и разности: \[ \angle KAC=\angle MCA. \]

Главная идея: медианы делят равные стороны пополам, поэтому получаются равные треугольники, а из их равенства следуют нужные равенства углов и отрезков.