Упр 15 (3,4)

Краткий ответ

3. При полёте станции от Земли к Луне сила её притяжения к Земле уменьшается, а к Луне растёт. В точке посередине между ними силы различны: Земля притягивает станцию в 81 раз сильнее, чем Луна.

4. Неверно. Сила, с которой Солнце притягивает Землю, равна силе, с которой Земля притягивает Солнце.

Разбор

Всё держится на одной формуле — законе всемирного тяготения:

\[ F = G\frac{m_1 m_2}{r^{2}} \]

То есть сила пропорциональна обоим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.

Задание 3

Обозначим массу станции \(m\), массу Земли \(M_З\), массу Луны \(M_Л\).

• Притяжение к Земле: \[ F_З = G\frac{m M_З}{r_З^{2}} \] Станция улетает от Земли, \(r_З\) растёт — значит \(F_З\) уменьшается (обратная пропорциональность квадрату расстояния).
• Притяжение к Луне: \[ F_Л = G\frac{m M_Л}{r_Л^{2}} \] Расстояние до Луны \(r_Л\) уменьшается — значит \(F_Л\) увеличивается.

Посередине между ними расстояния одинаковы: \(r_З = r_Л = \frac{R}{2}\), где \(R\) — расстояние Земля–Луна. Тогда \(G\), \(m\) и \(r^{2}\) сокращаются, и отношение сил равно отношению масс:

\[ \frac{F_З}{F_Л} = \frac{M_З}{M_Л} \approx 81 \]

Значит, силы не одинаковы: притяжение к Земле в 81 раз больше. Причина в том, что масса станции одна и та же, а массы планет разные.

Задание 4

Проверим, откуда могло взяться «в 330 000 раз». Запишем обе силы по той же формуле:

\[ F_{\text{С}\to\text{З}} = G\frac{M_С M_З}{R^{2}}, \qquad F_{\text{З}\to\text{С}} = G\frac{M_З M_С}{R^{2}} \]

Выражения буквально одинаковы — перемножение масс симметрично. Это и есть третий закон Ньютона: тела действуют друг на друга с равными по модулю и противоположными по направлению силами.

А вот ускорения разные, и именно здесь работает число 330 000:

\[ a_З = \frac{F}{M_З}, \qquad a_С = \frac{F}{M_С}, \qquad \frac{a_З}{a_С} = \frac{M_С}{M_З} = 330\,000 \]

То есть Земля получает в 330 000 раз большее ускорение, чем Солнце (и «падает» на Солнце, двигаясь по орбите). Силы же равны — большая масса Солнца означает малую «отзывчивость», а не большую силу.

Проверка

• В задаче 3 при \(r_З = r_Л\) остаются только массы: \(81\) — ответ согласуется с формулой, размерности не нужны, отношение безразмерное.
• В задаче 4 подстановка любых масс в \(G\frac{m_1m_2}{r^{2}}\) даёт одно и то же число для обеих сил — значит, «в 330 000 раз сильнее» невозможно.