Дано: AD = BC, AC = BD. Доказать: ∠CAB = ∠DBA. Дано: KO = MO, ∠K = ∠M. Доказать: KC = MN

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Классная работа: записать число, тему, формулировку 3 признака равенства треугольников, переписать задачу 1
Домашнее задание: знать три признака равенства треугольников, тесты 1-6 устно, решить задачи

1. [Рисунок: четырёхугольник, вершины $D$ и $C$ — сверху, $A$ и $B$ — снизу; проведены диагонали $AC$ и $BD$; на сторонах отмечены штрихи равенства]
Дано:
$AD=BC$
$AC=BD$
Доказать: $\angle CAB=\angle DBA$

2. [Рисунок: четырёхугольник, вершины $C$ и $N$ — сверху, $K$ и $M$ — снизу; отрезки $CM$ и $KN$ пересекаются в точке $O$; на отрезках $KO$ и $MO$ отмечены штрихи равенства; углы $K$ и $M$ отмечены дужками]
Дано:
$KO=MO$
$\angle K=\angle M$
Доказать: $KC=MN$

Подумайте, какой признак равенства треугольников используете в этой задаче. При доказательстве равенства треугольников ставьте номер
1)
2)
3)

Answer

Краткий ответ

Задача 1 — третий признак равенства треугольников (по трём сторонам), в доказательстве ставим номер 3.

Задача 2 — второй признак (по стороне и двум прилежащим углам), номер 2.

Дальше — сами доказательства и то, как выбирать признак, чтобы решать похожие задачи.

Задача 1

Дано: $AD=BC$, $AC=BD$. Доказать: $\angle CAB=\angle DBA$.

Рассмотрим $\triangle CAB$ и $\triangle DBA$:

1. $AC=BD$ — по условию;

2. $AB=BA$ — общая сторона;

3. $CB=AD$ — по условию.

Значит, $\triangle CAB=\triangle DBA$ по третьему признаку (по трём сторонам) (3).

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В $\triangle CAB$ угол $CAB$ лежит против стороны $CB$, в $\triangle DBA$ угол $DBA$ лежит против стороны $DA$, а $CB=DA$. Следовательно,

$$
\angle CAB=\angle DBA.
$$

Проверка: углы взяты именно те, что против равных сторон, — противоречий нет, доказательство замкнулось.

Задача 2

Дано: $KO=MO$, $\angle K=\angle M$. Доказать: $KC=MN$.

Рассмотрим $\triangle KOC$ и $\triangle MON$:

1. $KO=MO$ — по условию;

2. $\angle OKC=\angle OMN$ — по условию ($\angle K=\angle M$);

3. $\angle KOC=\angle MON$ — вертикальные углы.

Оба угла в пунктах 2 и 3 прилежат к стороне $KO$ (в первом треугольнике) и к стороне $MO$ (во втором). Значит, треугольники равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам) (2).

Тогда соответствующие стороны равны:

$$
KC=MN
$$

($KC$ лежит против $\angle KOC$, $MN$ — против $\angle MON$). Что и требовалось доказать.

Как не путать признаки

1. Две стороны и угол между ними — угол обязательно «между» сторонами.

2. Сторона и два прилежащих к ней угла — оба угла должны касаться этой стороны (часто второй угол дают вертикальные углы, как в задаче 2).

3. Три стороны — общая сторона тоже считается парой (как $AB$ в задаче 1).

Правило выбора: посмотри, какие элементы уже есть на рисунке и в «Дано». Есть три пары сторон — признак 3; есть сторона и два угла рядом с ней — признак 2; есть две стороны и угол между ними — признак 1.