реши эти примеры

Краткие ответы

1. а) \(\sin(-240^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); б) \(\operatorname{tg}\dfrac{3\pi}{4}=-1\)

2. а) \(2\cos\alpha\); б) \(0\)

3. Тождество верно (при \(\sin\alpha\neq 0\))

4. \(0\)

Как это получается

1. Значения выражений

а) Угол \(-240^{\circ}\) приводим к «удобному», прибавляя период \(360^{\circ}\): \[ -240^{\circ}+360^{\circ}=120^{\circ} \] Дальше по формуле приведения: \[ \sin 120^{\circ}=\sin(180^{\circ}-60^{\circ})=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

б) \(\dfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}\) — вторая четверть, там тангенс отрицательный: \[ \operatorname{tg}135^{\circ}=\operatorname{tg}(180^{\circ}-45^{\circ})=-\operatorname{tg}45^{\circ}=-1 \]

2. Упрощение по формулам приведения

Правило: если в скобках \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\), функция меняется на кофункцию (синус ↔ косинус, тангенс ↔ котангенс); если \(\pi\) или \(2\pi\) — не меняется. Знак берём по четверти.

а) \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\) (меняется, I четверть, знак «+»); \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\) (не меняется, II четверть, знак «−»). \[ \cos\alpha-(-\cos\alpha)=2\cos\alpha \]

б) \(\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\operatorname{ctg}\alpha\) (меняется, IV четверть, знак «−»); \(\operatorname{ctg}(\pi+\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha\) (период \(\pi\) — знак «+»). \[ -\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha=0 \] То есть выражение вообще не зависит от \(\alpha\).

3. Доказательство тождества

Приводим левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha\big((1-\cos\alpha)+(1+\cos\alpha)\big)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)} \] В числителе \(1-\cos\alpha+1+\cos\alpha=2\), в знаменателе — разность квадратов: \[ (1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)=1-\cos^{2}\alpha=\sin^{2}\alpha \] Получаем: \[ \frac{2\sin\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha} \] Ограничение \(\sin\alpha\neq 0\) нужно, чтобы знаменатели не обращались в ноль.

4. Вычисление

Табличные значения: \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\sin 0^{\circ}=0\), \(\operatorname{tg}\pi=0\). Поэтому \[ 3\cdot 0+4\cdot 0+6\cdot 0=0 \]

Проверка

• П. 3: возьмём \(\alpha=90^{\circ}\): слева \(\frac{1}{1+0}+\frac{1}{1-0}=2\), справа \(\frac{2}{1}=2\). Совпало.
• П. 2а: при \(\alpha=0\): \(\sin 90^{\circ}-\cos 180^{\circ}=1-(-1)=2\), а \(2\cos 0=2\). Совпало.
• П. 1а: синус отрицательного угла отрицателен при малых углах, но \(-240^{\circ}\) лежит во II четверти (после прибавления \(360^{\circ}\)), поэтому ответ положительный — \(\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87\), что меньше 1. Всё согласуется.