3.358 Чему равен остаток r от деления: а) 345 на 10; б) 4967 на 2; в) 4734 на 5; г) 4856 на 5; д) 1000 на 3; е) 10 000 на 9?

Краткий ответ (№ 3.358):
а) \(r=5\); б) \(r=1\); в) \(r=4\); г) \(r=1\); д) \(r=1\); е) \(r=1\).

Главная идея. Деление с остатком записывают так: \[ a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r<b. \] Остаток — это «излишек» после вычитания наибольшего кратного делителя. Поэтому остаток всегда меньше делителя.

Почему работают быстрые приёмы:

• \(10\) делится на \(2\), \(5\) и \(10\), поэтому остаток при делении на эти числа зависит только от последней цифры;
• \(10,100,1000,\ldots\) при делении на \(3\) и \(9\) дают остаток \(1\), поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы его цифр.

Решение по пунктам:

• а) \(345\): последняя цифра \(5\), значит \(r=5\). Проверка: \(345=10\cdot34+5\).
• б) \(4967\): последняя цифра \(7\), она нечётная, значит \(r=1\). Проверка: \(4967=2\cdot2483+1\).
• в) \(4734\): последняя цифра \(4\), значит \(r=4\). Проверка: \(4734=5\cdot946+4\).
• г) \(4856\): последняя цифра \(6\), а \(6-5=1\), значит \(r=1\). Проверка: \(4856=5\cdot971+1\).
• д) \(1000\): сумма цифр \(1+0+0+0=1\), значит \(r=1\). Проверка: \(1000=3\cdot333+1\).
• е) \(10\,000\): сумма цифр \(1\), значит \(r=1\). Проверка: \(10\,000=9\cdot1111+1\).

Проверка. Я проверил каждый пункт: везде \(0\le r<b\) и \(b\cdot q+r=a\), поэтому остатки найдены верно.

Как решать похожее задание. Найди наибольшее кратное делителя, не превосходящее данное число, и вычти его — получишь остаток. В конце проверь, что остаток меньше делителя.

Замечу: № 3.359 на фото — уже разобранный в учебнике пример, там получается \(3\cdot2=6\) вариантов флага.