1. Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Краткий ответ: 1) \(24\); 2) \(24\); 3) \(26\); 4) \(5\).

В равностороннем треугольнике со стороной \(a\) высота, медиана и биссектриса совпадают, поэтому \[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}. \] Отсюда по известной высоте или биссектрисе сторона находится так: \[ a=\frac{2h}{\sqrt{3}}. \]

1. \(h=12\sqrt{3}\): \[ a=\frac{2\cdot12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=24. \]

2. \(a=16\sqrt{3}\): \[ h=\frac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} =\frac{16\cdot3}{2}=24. \]

3. Биссектриса равностороннего треугольника равна его высоте, \(h=13\sqrt{3}\): \[ a=\frac{2\cdot13\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=26. \]

4. \(AC=6\), \(BC=8\), \(\angle C=90^\circ\), значит \(AC\) и \(BC\) — катеты, а \(AB\) — гипотенуза: \[ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10. \] Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, поэтому \[ R=\frac{AB}{2}=5. \]

Проверка: \(\frac{24\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}\); \(\frac{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=24\); \(\frac{26\sqrt{3}}{2}=13\sqrt{3}\); для прямоугольного треугольника \(R=\frac{10}{2}=5\).