Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1 = 2,\qquad x_2 = 3 \]

Как это получить

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета)

Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p = -5\), \(q = 6\), значит:

\[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \]

Подбираем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. Тогда:

\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:

\[ x - 2 = 0 \ \text{или}\ x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \ \text{или}\ x = 3 \]

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Проверка

\[ 2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \]

\[ 3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \]

Оба корня подходят.

Принцип на будущее: если \(D > 0\) — два корня, \(D = 0\) — один корень, \(D < 0\) — корней нет. А если корни целые, Виет помогает устно: ищи два числа, дающие в сумме \(-b\) и в произведении \(c\).