293 294 295
Сверь числа и знаки с фото.
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{a+b}\) при \(a=33\); \(b=-8\); \(a=0,65\); \(b=0,16\); б) \(\sqrt{3x-5}\) при \(x=23; 1,83\); в) \(x+\sqrt{x}\) при \(x=0; 0,01; 0,36; 0,64; 1; 25; 100; 3600\).
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) при \(x=\frac{9}{25}\), \(y=0,36\); б) \(\sqrt{4-2a}\) при \(a=2; -22,5\).
Найдите значение выражения: а) \(\sqrt{0,09}+\sqrt{0,25}\); б) \(\sqrt{0,04}-\sqrt{0,01}\); в) \(3\sqrt{9}-16\); г) \(-7\sqrt{0,36}+5,4\); д) \(0,1\sqrt{400}+0,2\sqrt{1600}\); е) \(\frac{1}{3}\sqrt{0,36}+\frac{1}{5}\sqrt{900}\).
Кратко — ответы
293. а) при \(a=33,\ b=-8\) — \(5\); при \(a=0{,}65,\ b=0{,}16\) — \(0{,}9\). б) при \(x=23\) — \(8\); при \(x=1{,}83\) — \(0{,}7\). в) \(0;\ 0{,}11;\ 0{,}96;\ 1{,}44;\ 2;\ 30;\ 110;\ 3660\).
294. а) \(1{,}2\). б) при \(a=2\) — \(0\); при \(a=-22{,}5\) — \(7\).
295. а) \(0{,}8\); б) \(0{,}1\); в) \(-7\); г) \(1{,}2\); д) \(10\); е) \(6{,}2\).
Правило, из которого всё следует
Арифметический квадратный корень \(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число \(t\), для которого \(t^2=a\). Отсюда:
- под корнем должно стоять \(a\ge 0\);
- сам корень всегда неотрицателен, поэтому \(\sqrt{x^2}=|x|\);
- значения корней удобно брать из таблицы квадратов: \(0{,}3^2=0{,}09\), \(0{,}5^2=0{,}25\), \(0{,}7^2=0{,}49\), \(0{,}8^2=0{,}64\), \(0{,}9^2=0{,}81\).
Как решаются 293 и 294
Схема одна: подставить число → вычислить подкоренное выражение → извлечь корень.
293. а) \(\sqrt{a+b}\): \[ 33+(-8)=25,\qquad \sqrt{25}=5; \] \[ 0{,}65+0{,}16=0{,}81,\qquad \sqrt{0{,}81}=0{,}9. \]
б) \(\sqrt{3x-5}\): \[ 3\cdot 23-5=69-5=64,\qquad \sqrt{64}=8; \] \[ 3\cdot 1{,}83-5=5{,}49-5=0{,}49,\qquad \sqrt{0{,}49}=0{,}7. \]
в) \(x+\sqrt{x}\): сначала отдельно считаем корень, потом прибавляем его к \(x\) (корень не «приписывается» к числу цифрами).
| \(x\) | \(\sqrt{x}\) | \(x+\sqrt{x}\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0{,}01\) | \(0{,}1\) | \(0{,}11\) |
| \(0{,}36\) | \(0{,}6\) | \(0{,}96\) |
| \(0{,}64\) | \(0{,}8\) | \(1{,}44\) |
| \(1\) | \(1\) | \(2\) |
| \(25\) | \(5\) | \(30\) |
| \(100\) | \(10\) | \(110\) |
| \(3600\) | \(60\) | \(3660\) |
294. а) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\): \[ \sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}=0{,}6,\qquad \sqrt{0{,}36}=0{,}6, \] \[ 0{,}6+0{,}6=1{,}2. \]
б) \(\sqrt{4-2a}\): \[ a=2:\quad 4-2\cdot 2=0,\qquad \sqrt{0}=0; \] \[ a=-22{,}5:\quad 4-2\cdot(-22{,}5)=4+45=49,\qquad \sqrt{49}=7. \]
Отрицательным может быть само \(a\) — важно лишь, чтобы под корнем получилось неотрицательное число.
295 — просто считаем корни
Сначала «заготовки»: \[ \sqrt{0{,}09}=0{,}3,\quad \sqrt{0{,}25}=0{,}5,\quad \sqrt{0{,}04}=0{,}2,\quad \sqrt{0{,}01}=0{,}1,\quad \sqrt{9}=3, \] \[ \sqrt{0{,}36}=0{,}6,\quad \sqrt{400}=20,\quad \sqrt{1600}=40,\quad \sqrt{900}=30. \]
Дальше подставляем:
- а) \(0{,}3+0{,}5=0{,}8\);
- б) \(0{,}2-0{,}1=0{,}1\);
- в) \(3\cdot 3-16=9-16=-7\);
- г) \(-7\cdot 0{,}6+5{,}4=-4{,}2+5{,}4=1{,}2\);
- д) \(0{,}1\cdot 20+0{,}2\cdot 40=2+8=10\);
- е) \(\frac{1}{3}\cdot 0{,}6+\frac{1}{5}\cdot 30=0{,}2+6=6{,}2\).
Проверка
Возводим ответ в квадрат: \(5^2=25\), \(0{,}9^2=0{,}81\), \(8^2=64\), \(0{,}7^2=0{,}49\), \(7^2=49\) — всё сходится. В 295в отрицательный ответ законен: \(3\sqrt{9}=9\), а минус даёт вычитание \(9-16=-7\); сам корень при этом неотрицателен.
Типичная ошибка: \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Например, \(\sqrt{9+16}=5\), а \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\).
Обсуждение
5 сообщенийОбьясни как работает квадратный корень простыми словами
Коротко. Квадратный корень отвечает на вопрос: «какое число умножить само на себя, чтобы получить данное?» Например, \(\sqrt{25}=5\), потому что \(5\cdot5=25\).
Откуда название
Квадрат со стороной \(5\) имеет площадь \(25\). Корень делает обратный шаг: по площади \(25\) находит сторону \(5\). Поэтому корень — «обратная операция» к возведению в квадрат: возвели в квадрат — извлекли корень — вернулись назад.
\[ 5 \xrightarrow{\ \text{в квадрат}\ } 25 \xrightarrow{\ \text{корень}\ } 5 \]
Три правила, которые спасают от ошибок
- Под корнем не может быть отрицательного числа. \(\sqrt{-4}\) не существует среди обычных чисел: любое число в квадрате неотрицательно.
- Сам корень никогда не бывает отрицательным. Это и называется арифметическим корнем (о нём речь в №289–292).
- Отдельно про букву: \(\sqrt{x^2}=|x|\), а не просто \(x\). Ведь \((-3)^2=9\), и корень из \(9\) — это \(3\), а не \(-3\).
Из-за правила 2 в уравнении \(x^2=9\) два решения: \(x=3\) и \(x=-3\), но запись \(\sqrt{9}\) означает только \(3\).
Как считать на практике — три приёма
Приём 1. Таблица квадратов. Держи в голове: \(1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,\dots\) Если число есть в этом списке — корень находится сразу: \(\sqrt{144}=12\).
Приём 2. Разложить на удобные множители. Корень «дружит» с умножением и делением: \[ \sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}. \] Отсюда \(\sqrt{3600}=\sqrt{36\cdot100}=6\cdot10=60\), а \(\sqrt{0{,}36}=\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{6}{10}=0{,}6\). Заметь: у квадрата после запятой в два раза больше цифр, чем у корня, — \(0{,}6^2=0{,}36\).
Приём 3. Оценить между целыми. Если точного ответа не видно, зажми число между соседними квадратами: \[ 49<50<64\ \Rightarrow\ 7<\sqrt{50}<8. \] Так легко проверять себя: \(\sqrt{50}\approx7{,}07\), и это разумно.
Чего делать нельзя
Корень не разбирается на сумму: \[ \sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b. \] Проверь: \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), а \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\). Ошибка почти в полтора раза — именно поэтому в №293 надо сначала сложить, и только потом извлекать корень.
Почему ответ не всегда красивый
Чаще всего корень не целый и не дробный: \(\sqrt2=1{,}4142\ldots\) Такие числа называют иррациональными — их нельзя записать обыкновенной дробью (об этом №298, 299). Но и у них есть точное значение, просто в виде бесконечной непериодической записи.
Как всегда проверять себя
Возведи ответ в квадрат — должен получиться подкоренное выражение. В прошлом ответе я так и проверял: \(0{,}9^2=0{,}81\), \(7^2=49\), \(60^2=3600\). Если не сходится — где-то потерялся множитель или лишний ноль.
Потренируйся (ответы ниже, сначала реши сам):
- \(\sqrt{0{,}81}\)
- \(\sqrt{400}-\sqrt{0{,}01}\)
- Между какими целыми лежит \(\sqrt{70}\)?
Ответы: 1) \(0{,}9\); 2) \(20-0{,}1=19{,}9\); 3) \(8<\sqrt{70}<9\), так как \(64<70<81\).
Хочешь — разберём по этой же схеме №296 или 297 со страницы: там как раз тренировка на таблицу квадратов и десятичные корни.
Помоги понять 545 задание
Ответ
\[ S=a^2 \]
а) \(1{,}2^2=1{,}44\) — площадь \(1{,}44\ \text{см}^2\);
б) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\) — площадь \(\dfrac{9}{16}\ \text{дм}^2\) (это \(56{,}25\ \text{см}^2\));
в) \((3\sqrt2)^2=9\cdot2=18\) — площадь \(18\ \text{м}^2\).
Почему так
Площадь квадрата — это сторона, умноженная сама на себя: \(S=a\cdot a=a^2\). В №545 сторона дана в трёх разных «одеждах», и в каждом случае нужно просто возвести её в квадрат.
Все три случая по шагам
а) Десятичная дробь. Возводим в квадрат как обычно: \(1{,}2\cdot1{,}2=1{,}44\). Быстрая проверка: у \(1{,}2\) одна цифра после запятой, значит у квадрата их две — \(1{,}44\). Не забудь про единицы: см \(\cdot\) см = см².
б) Обыкновенная дробь. В квадрат возводятся и числитель, и знаменатель: \[ \left(\frac34\right)^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}. \] Оставлять ответ дробью можно — это точное значение. Если нужны сантиметры: \(1\ \text{дм}^2=100\ \text{см}^2\), поэтому \(\frac{9}{16}\cdot100=56{,}25\ \text{см}^2\).
в) Здесь и пригодится то, что мы разбирали про корень. Квадрат и корень — обратные операции, поэтому при возведении в квадрат корень «снимается»: \[ (3\sqrt2)^2=3^2\cdot(\sqrt2)^2=9\cdot2=18. \] Общее правило: \((a\sqrt b)^2=a^2 b\). Множитель перед корнем возводится в квадрат отдельно, а \(\sqrt b\) превращается в \(b\).
Проверка
- В в) ответ можно оценить: \(\sqrt2\approx1{,}41\), сторона \(\approx4{,}24\) м, квадрат \(\approx18\) м² — сходится.
- Общий смысл: при увеличении стороны в 2 раза площадь растёт в 4 раза — поэтому ответы на возведение в квадрат всегда «растут быстро».
Типичные ошибки
- В в) написать \(3\sqrt2\) вместо \(18\) — забыли, что корень при возведении в квадрат исчезает.
- В б) возвести в квадрат только числитель (\(\frac34\to\frac94\)) — знаменатель тоже нужно возводить.
- В а) получить \(1{,}44\) «без единиц» — площадь всегда в квадратных единицах: см², дм², м².
Следующее задание 546 — обратная задача: там дана площадь, а сторону находят через корень. Хочешь, разберём и его?
555
