3.25. Докажите, что если \(y = x + \frac{1}{x}\), то: а) при \(x < 0\) \(y_{\text{наиб}} = -2\); б) при \(x > 0\) \(y_{\text{наим}} = 2\). 3.26. Найдите наибольшее и/или…
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
3.25. Докажите, что если \(y = x + \frac{1}{x}\), то: а) при \(x < 0\) \(y_{\text{наиб}} = -2\); б) при \(x > 0\) \(y_{\text{наим}} = 2\).
3.26. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции \(y = 3x^2 - 24x - 100\): а) на отрезке \([-1; 5]\); в) на луче \([0; +\infty)\); б) на луче \((-\infty; 0]\); г) на \(\mathbb{R}\).
3.27. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции \(y = -2x^2 - 12x + 3\): а) на отрезке \([-1; 3]\); в) на луче \([-4; +\infty)\); б) на луче \((-\infty; -4]\); г) на \(\mathbb{R}\).
На фото три номера: 3.25, 3.26 и 3.27. Ниже — ответы и объяснение.
3.25
Ответ:
а) при \(x<0\) наибольшее значение \(y=-2\), достигается при \(x=-1\);
б) при \(x>0\) наименьшее значение \(y=2\), достигается при \(x=1\).
Доказательство.
Если \(x>0\), то
\[
y-2=x+\frac1x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0.
\]
Значит, \(y\ge 2\). Равенство возможно при \(x=1\), поэтому \(y_{\text{наим}}=2\).
Если \(x<0\), то \[ y+2=x+\frac1x+2=\frac{x^2+2x+1}{x}=\frac{(x+1)^2}{x}\le 0, \] поскольку числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен. Значит, \(y\le -2\). Равенство при \(x=-1\), поэтому \(y_{\text{наиб}}=-2\).
3.26
Функция \[ y=3x^2-24x-100 \] — парабола ветвями вверх. Её вершина: \[ x_0=-\frac{-24}{2\cdot 3}=4,\qquad y(4)=3\cdot16-96-100=-148. \]
| Пункт | Наибольшее значение | Наименьшее значение |
|---|---|---|
| а) \([-1;5]\) | \(-73\) при \(x=-1\) | \(-148\) при \(x=4\) |
| б) \((-\infty;0]\) | нет | \(-100\) при \(x=0\) |
| в) \([0;+\infty)\) | нет | \(-148\) при \(x=4\) |
| г) \(\mathbb R\) | нет | \(-148\) при \(x=4\) |
Проверка концов отрезка: \(y(-1)=-73\), \(y(5)=-145\).
3.27
Функция \[ y=-2x^2-12x+3 \] — парабола ветвями вниз. Её вершина: \[ x_0=-\frac{-12}{2\cdot(-2)}=-3,\qquad y(-3)=-2\cdot9+36+3=21. \]
| Пункт | Наибольшее значение | Наименьшее значение |
|---|---|---|
| а) \([-1;3]\) | \(13\) при \(x=-1\) | \(-51\) при \(x=3\) |
| б) \((-\infty;-4]\) | \(19\) при \(x=-4\) | нет |
| в) \([-4;+\infty)\) | \(21\) при \(x=-3\) | нет |
| г) \(\mathbb R\) | \(21\) при \(x=-3\) | нет |
Общий принцип: у параболы экстремум достигается в вершине. Если вершина входит в рассматриваемый промежуток, сравниваем её значение с концами; если не входит, функция на промежутке монотонна, и экстремум достигается на границе.
Обсуждение
3 сообщенияРеши 3.27 под всеми буквами
3.27. Функция \(y=-2x^2-12x+3\)
Сначала выделим полный квадрат: \[ y=-2(x^2+6x)+3=-2\bigl((x+3)^2-9\bigr)+3=21-2(x+3)^2. \] Отсюда видно, что это парабола ветвями вниз с вершиной в точке \[ x=-3,\qquad y(-3)=21. \] Функция возрастает при \(x<-3\) и убывает при \(x>-3\).
Посчитаем значения в нужных точках: \[ y(-4)=-2\cdot16+48+3=19, \] \[ y(-1)=-2+12+3=13, \] \[ y(3)=-18-36+3=-51. \]
а) На отрезке \([-1;3]\)
Вершина \(x=-3\) в отрезок не входит. На всём отрезке \(x>-3\), значит, функция убывает.
\[ y_{\text{наиб}}=y(-1)=13, \] \[ y_{\text{наим}}=y(3)=-51. \]
Ответ: наибольшее \(13\), наименьшее \(-51\).
б) На луче \((-\infty;-4]\)
Здесь \(x\le -4<-3\), поэтому функция возрастает. Наибольшее значение — в правом конце \(x=-4\):
\[ y_{\text{наиб}}=y(-4)=19. \]
Наименьшего значения нет: при \(x\to -\infty\) функция стремится к \(-\infty\).
Ответ: наибольшее \(19\); наименьшего значения нет.
в) На луче \([-4;+\infty)\)
Вершина \(x=-3\) входит в луч, поэтому именно в ней достигается наибольшее значение всей параболы:
\[ y_{\text{наиб}}=y(-3)=21. \]
Наименьшего значения нет: при \(x\to +\infty\) функция стремится к \(-\infty\).
Ответ: наибольшее \(21\); наименьшего значения нет.
г) На всей числовой прямой \(\mathbb R\)
\[ y_{\text{наиб}}=y(-3)=21. \]
Наименьшего значения нет, так как ветви параболы направлены вниз.
Ответ: наибольшее \(21\); наименьшего значения нет.
Итоговая таблица
| Пункт | Промежуток | Наибольшее | Наименьшее |
|---|---|---|---|
| а) | \([-1;3]\) | \(13\) при \(x=-1\) | \(-51\) при \(x=3\) |
| б) | \((-\infty;-4]\) | \(19\) при \(x=-4\) | нет |
| в) | \([-4;+\infty)\) | \(21\) при \(x=-3\) | нет |
| г) | \(\mathbb R\) | \(21\) при \(x=-3\) | нет |
Ключевая идея: для параболы с ветвями вниз наибольшее значение достигается в вершине, если она попадает в промежуток. Если вершина не попадает, смотрим на монотонность: на возрастающей части максимум — на правом конце, на убывающей — на левом.
