Выполни задание 8.8 по примеру с тетради и пиши как 7 классник

Question

Расшифровка фото нейросетью:
8.8. На рисунке 8.7 AB = AC, AE = AD. Докажите, что BD = CE.

Рис. 8.7. Треугольник ABC: вершина A вверху, B и C внизу; на стороне AB отмечена точка E, на стороне AC — точка D; проведены отрезки BD и CE, они пересекаются внутри треугольника. На сторонах AB и AC отмечены чёрточки: одинарные — между A и E, между A и D; двойные — ниже E и ниже D.

[Рукописно:] △ABD, △ACE; ∠B = ∠C; справа от рисунка — [неразборчиво].

№ 8.7

[Рисунок: четырёхугольник EGRH; диагонали ER и GH пересекаются в точке P; углы при точке P обозначены цифрами 1, 2, 3, 4; часть фигуры заштрихована.]

Дано: EGRH
EP = PR
GP = PH
Найти: равные треугольники.

Решение:
Рассмотрим △EPH и △RPG [зачёркнуто: △EPR].

1. EP = PR

2. GP = PH

3. ∠1 = ∠2 — вертикальные
Вывод: △EPH = △RPG (по I призн.).
ч.т.д.

Answer

Краткий ответ: $BD = CE$, потому что треугольники $ABD$ и $ACE$ равны по двум сторонам и углу между ними (I признак).

Оформление в тетради (по образцу № 8.7):

Дано: $\triangle ABC$; точка $E$ лежит на стороне $AB$, точка $D$ — на стороне $AC$; $AB = AC$, $AE = AD$.

Доказать: $BD = CE$.

Доказательство:

Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$.

1. $AB = AC$ — по условию;

2. $AE = AD$ — по условию;

3. $\angle BAD = \angle CAE$ — это один и тот же угол $A$, он общий.

Вывод: $\triangle ABD = \triangle ACE$ по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников). В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому $BD = CE$. ч.т.д.

Почему это работает. I признак говорит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны.

В $\triangle ABD$ берём стороны $AB$ и $AD$, угол между ними — $\angle A$. В $\triangle ACE$ берём стороны $AC$ и $AE$, угол между ними — тот же самый $\angle A$ (он общий, то есть буквально один и тот же угол на рисунке). Пары равны: $AB = AC$, $AE = AD$, $\angle A = \angle A$. Значит, треугольники равны.

Дальше важно правильно сопоставить вершины: $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow E$. Тогда сторона $BD$ лежит против угла $A$ в первом треугольнике, а $CE$ — против того же угла $A$ во втором, поэтому $BD = CE$. Запись $\triangle ABD = \triangle ACE$ сама показывает это соответствие.

Проверка. Я проверил по рисунку 8.7: если мысленно перегнуть его по биссектрисе угла $A$, то сторона $AB$ ляжет на $AC$ (так как $AB = AC$), а точка $D$ попадёт в точку $E$ (так как $AE = AD$). Значит, отрезок $BD$ совместится с $CE$, то есть $BD = CE$. Всё сходится.

Второй способ (необязательно). Пометка $\angle B = \angle C$ на полях — как раз для него. $EB = AB - AE$, $DC = AC - AD$, а так как $AB = AC$ и $AE = AD$, то $EB = DC$. Сторона $BC$ общая. $\angle EBC = \angle DCB$ — углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$ (он равнобедренный, потому что $AB = AC$). По I признаку $\triangle EBC = \triangle DCB$, значит, $EC = DB$, то есть $BD = CE$.

Выполни задание 8.8 по примеру с тетради и пиши как 7 классник

Обсуждение