докажи всё с полным оформлением

Question

Расшифровка фото нейросетью:
1
[Рисунок: точка A слева, B — вверху справа, C — правее A на общей стороне, K — внизу справа; проведены отрезки AB, AC, BC, CK, AK. На BC и CK отмечены равные отрезки, углы BCA и ACK при вершине C отмечены равными дугами.]
Доказать: $\triangle ABC=\triangle AKC$.

2
[Рисунок: отрезки AB и CK пересекаются в точке O; точки K и A соединены нижним отрезком, B и C — верхним. На BO и AO, а также на CO и KO отмечены равные отрезки.]
Доказать: $\triangle BCO=\triangle AKO$.

3
[Рисунок: E вверху, A слева, B внизу, K справа; точки E, C, O, B лежат на одной прямой, углы AOE и KBC прямые; проведены AE и CK; на AE и CK, а также на AO и BK отмечены равные отрезки.]
Доказать: $\triangle AEO=\triangle KCB$.

4
[Рисунок: четырёхугольник ABKC, его диагонали AK и BC пересекаются в точке O; на сторонах AB и BK, AC и CK отмечены равные отрезки.]
Доказать: $\triangle AOC=\triangle KOC$.

Answer

На рисунке одинаковыми отметками показаны равные отрезки и углы — используем их как данные.

Коротко: №1 — по двум сторонам и углу между ними; №2 — то же, плюс вертикальные углы; №3 — прямоугольные треугольники по гипотенузе и катету; №4 — сначала равенство треугольников $ABC$ и $KBC$, затем равенство $AOC$ и $KOC$.

1. Доказать: $\triangle ABC=\triangle AKC$

Дано: $BC=CK$, $\angle BCA=\angle KCA$, $AC$ — общая сторона.
Доказать: $\triangle ABC=\triangle AKC$.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AKC$.

2. $AC$ — общая сторона.

3. $BC=CK$ — по обозначениям на рисунке.

4. $\angle BCA=\angle KCA$ — по обозначениям на рисунке; эти углы заключены между соответствующими сторонами.

5. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними — по первому признаку равенства треугольников.

$$
\triangle ABC=\triangle AKC
$$
что и требовалось доказать.

2. Доказать: $\triangle BCO=\triangle AKO$

Дано: $BO=AO$, $CO=KO$; прямые $AB$ и $CK$ пересекаются в точке $O$.
Доказать: $\triangle BCO=\triangle AKO$.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники $BCO$ и $AKO$.

2. $BO=AO$ — по обозначениям на рисунке.

3. $CO=KO$ — по обозначениям на рисунке.

4. $\angle BOC=\angle AOK$, потому что это вертикальные углы.

5. Эти углы заключены между соответственно равными сторонами, значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

$$
\triangle BCO=\triangle AKO
$$
что и требовалось доказать.

3. Доказать: $\triangle AEO=\triangle KCB$

Дано: $\angle AOE=90^\circ$, $\angle KBC=90^\circ$, $AE=CK$, $AO=BK$.
Доказать: $\triangle AEO=\triangle KCB$.

Доказательство.

1. Треугольники $AEO$ и $KCB$ прямоугольные, так как $\angle AOE=90^\circ$ и $\angle KBC=90^\circ$.

2. В треугольнике $AEO$ гипотенуза — $AE$, катет — $AO$.

3. В треугольнике $KCB$ гипотенуза — $CK$, катет — $BK$.

4. По рисунку $AE=CK$ и $AO=BK$.

5. Значит, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.

$$
\triangle AEO=\triangle KCB
$$
что и требовалось доказать.

4. Доказать: $\triangle AOC=\triangle KOC$

Дано: $AB=KB$, $AC=KC$; точки $B,O,C$ лежат на одной прямой, $O$ лежит на отрезке $BC$.
Доказать: $\triangle AOC=\triangle KOC$.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $KBC$.

2. У них:
$$
AB=KB,\qquad AC=KC,\qquad BC\text{ — общая сторона.}
$$

3. Значит,
$$
\triangle ABC=\triangle KBC
$$
по трём сторонам — по третьему признаку равенства треугольников.

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
$$
\angle ACB=\angle KCB.
$$

5. Так как $O$ лежит на $BC$, то
$$
\angle ACO=\angle ACB,\qquad \angle KCO=\angle KCB,
$$
поэтому
$$
\angle ACO=\angle KCO.
$$

6. Теперь рассмотрим треугольники $AOC$ и $KOC$. У них:
$$
AC=KC,\qquad OC\text{ — общая,}\qquad \angle ACO=\angle KCO.
$$

7. Следовательно,
$$
\triangle AOC=\triangle KOC
$$
по двум сторонам и углу между ними — по первому признаку.

Что важно запомнить: для первого признака угол должен лежать именно между двумя равными сторонами. В №4 равенство нужного угла сначала получают из вспомогательных треугольников $ABC$ и $KBC$.

докажи всё с полным оформлением

1. Доказать: \(\triangle ABC=\triangle AKC\)

2. Доказать: \(\triangle BCO=\triangle AKO\)

3. Доказать: \(\triangle AEO=\triangle KCB\)

4. Доказать: \(\triangle AOC=\triangle KOC\)