Объясни очень простым языком кратко эту теорему и доказательство
Сверь числа и знаки с фото.
Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство Рассмотрим две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 29). В плоскости \(\alpha\) лежат пересекающиеся в точке \(M\) прямые \(a\) и \(b\), а в плоскости \(\beta\) — прямые \(a_1\) и \(b_1\), причем \(a \parallel a_1\) и \(b \parallel b_1\). Докажем, что \(\alpha \parallel \beta\). Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости \(a \parallel \beta\) и \(b \parallel \beta\).
[Рисунок: сверху — плоскость \(\beta\) с пересекающимися прямыми \(a_1\) и \(b_1\); снизу — плоскость \(\alpha\) с пересекающимися в точке \(M\) прямыми \(a\) и \(b\). Подпись: Рис. 29.]
Допустим, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой \(c\). Мы получили, что плоскость \(\alpha\) проходит через прямую \(a\), параллельную плоскости \(\beta\), и пересекает плоскость \(\beta\) по прямой \(c\). Отсюда следует (по свойству 1°, п. 6), что прямые \(a\) и \(c\) параллельны. Но плоскость \(\alpha\) проходит также через прямую \(b\), параллельную плоскости \(\beta\). Поэтому \(b \parallel c\). Таким образом, через точку \(M\) проходят две прямые \(a\) и \(b\), параллельные прямой \(c\). Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку \(M\) проходит только одна прямая, параллельная прямой \(c\). Значит, наше допущение неверно и, следовательно, \(\alpha \parallel \beta\). Теорема доказана.
Коротко. Если в одной плоскости есть две пересекающиеся прямые, а в другой — две прямые, каждая из которых параллельна своей прямой из первой плоскости, то эти плоскости параллельны. То есть у плоскостей одинаковые «направления», поэтому они не могут пересечься.
Как идёт доказательство.
Пусть в плоскости \(\alpha\) прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(M\). В плоскости \(\beta\) есть прямые \(a_1\) и \(b_1\), причём \[ a\parallel a_1,\qquad b\parallel b_1. \]
Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости \[ a\parallel\beta,\qquad b\parallel\beta. \] Проще говоря, каждая из прямых \(a\) и \(b\) «идёт вдоль» плоскости \(\beta\), но не пересекает её.
Доказываем от противного: пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой \(c\).
Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(a\), параллельную плоскости \(\beta\), и пересекает \(\beta\) по прямой \(c\). Поэтому \[ a\parallel c. \] Точно так же получаем \[ b\parallel c. \]
Но тогда через одну точку \(M\) проходят две разные прямые \(a\) и \(b\), обе параллельные прямой \(c\). А через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Получили противоречие.
Значит, предположение было неверным: плоскости не пересекаются, то есть \[ \alpha\parallel\beta. \]
Главная идея: если бы плоскости пересекались, обе «пересекающиеся» прямые одной плоскости оказались бы параллельны одной и той же линии пересечения. А это невозможно для двух разных прямых через одну точку.
