312. Найдите, используя алгоритм: а) НОД (90; 120), НОК (90; 120); б) НОД (16; 5), НОК (16; 5); в) НОД (12; 36), НОК (12; 36); г) НОД (12; 48), НОК (12; 48).

На фото полностью читаются задания 312 и 313. №314 обрезан: не видно, сколько дней длится рейс второго парохода, и сам вопрос. Поэтому ниже — решения 312 и 313.

Краткий ответ

312

313

Как это получать

НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное.

Удобно использовать связь: если \(d\) — НОД чисел \(a\) и \(b\), а \(m\) — их НОК, то

\[ d\cdot m=a\cdot b, \qquad m=\frac{ab}{d}. \]

То есть сначала находят НОД, а потом НОК.

Пример: 90 и 120

\[ 90=2\cdot3^2\cdot5,\qquad 120=2^3\cdot3\cdot5. \]

Общие множители в меньших степенях:

\[ 2\cdot3\cdot5=30 \]

Значит, НОД \(=30\).

Для НОК берём все простые множители в наибольших степенях:

\[ 2^3\cdot3^2\cdot5=360. \]

Проверка:

\[ 30\cdot360=90\cdot120=10800. \]

Особые случаи

• Если большее число делится на меньшее, то НОД — меньшее число, а НОК — большее.
  Например: \(12\) и \(36\): НОД \(=12\), НОК \(=36\).
• Если числа взаимно простые, то НОД \(=1\), а НОК равен их произведению.
  Например: \(16\) и \(5\): НОК \(=16\cdot5=80\).

Пример: 18 и 60

\[ 18=2\cdot3^2,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5. \]

\[ НОД=2\cdot3=6, \]

\[ НОК=\frac{18\cdot60}{6}=180. \]

Проверка: \(180:18=10\), \(180:60=3\).

Проверка всех НОК

Каждое найденное НОК делится без остатка на оба числа. Например:

\[ 360:90=4,\quad 360:120=3; \]

\[ 180:18=10,\quad 180:60=3. \]