397. Лягушка массой 100 г сидит на конце доски массой 900 г и длиной 50 см, которая лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Лягушка прыгает под углом 15° вдоль доски.

Относительная скорость — это скорость одного тела в системе отсчёта другого. Её находят векторно:

\[ \vec v_{\text{отн}}=\vec v_{\text{лягушки}}-\vec v_{\text{доски}}. \]

Пусть лягушка прыгает вправо, а доска после толчка едет влево.

• Горизонтальная скорость лягушки относительно земли: \[ u_x=v\cos\alpha. \]
• Скорость доски относительно земли: \[ -V \] (знак минус, потому что она движется влево).

Тогда горизонтальная скорость лягушки относительно доски:

\[ v_{\text{отн},x}=u_x-(-V)=u_x+V. \]

То есть скорости складываются не потому, что так «удобно», а потому что доска «убегает» навстречу движению лягушки: наблюдатель на доске видит, что лягушка удаляется быстрее.

То же самое через перемещения. За время полёта \(t\):

• лягушка смещается вправо на \(u_xt\);
• доска смещается влево на \(Vt\).

Чтобы лягушка оказалась на другом конце доски, эти перемещения вместе должны дать длину доски:

\[ u_xt+Vt=L, \]

или

\[ (u_x+V)t=L. \]

Отсюда и берётся относительная горизонтальная скорость \(u_x+V\).

Из закона сохранения импульса:

\[ m u_x=MV, \]

поэтому

\[ V=\frac{m}{M}u_x, \]

и

\[ v_{\text{отн},x} =u_x+V =v\cos\alpha\left(1+\frac{m}{M}\right). \]

При \(v=3\) м/с:

\[ u_x=3\cos15^\circ\approx2{,}90\ \text{м/с}, \] \[ V=\frac{0{,}1}{0{,}9}\cdot2{,}90\approx0{,}32\ \text{м/с}, \] \[ v_{\text{отн},x}\approx2{,}90+0{,}32=3{,}22\ \text{м/с}. \]

Время полёта:

\[ t=\frac{2v\sin15^\circ}{g}\approx0{,}155\ \text{с}. \]

Тогда относительное перемещение:

\[ v_{\text{отн},x}t\approx3{,}22\cdot0{,}155\approx0{,}50\ \text{м}, \]

то есть ровно длина доски \(50\) см.

Важно: вертикальная составляющая относительной скорости равна \(v\sin\alpha\), потому что доска по вертикали не движется. Но для длины доски важна именно горизонтальная составляющая относительной скорости. В решении \(v=3\) м/с — скорость лягушки относительно земли.

Скорость я получил из уравнения для длины доски. Сначала \(L\) выражается через \(v\), а потом это уравнение решается относительно \(v\).

Обозначим \(v\) — начальную скорость лягушки относительно земли, \(V\) — скорость доски назад.

1. Горизонтальная скорость лягушки: \[ v_x=v\cos\alpha. \]

2. По закону сохранения импульса: \[ m v\cos\alpha=MV, \] значит \[ V=\frac{m}{M}v\cos\alpha. \]

3. Лягушка и доска движутся в противоположные стороны, поэтому их относительная горизонтальная скорость: \[ v_{\text{отн}}=v\cos\alpha+V =v\cos\alpha\left(1+\frac{m}{M}\right). \]

4. Время полёта: \[ t=\frac{2v\sin\alpha}{g}. \]

5. За это время относительное перемещение должно равняться длине доски: \[ L=v_{\text{отн}}t. \] Подставляем: \[ L= v\cos\alpha\left(1+\frac{m}{M}\right) \cdot \frac{2v\sin\alpha}{g}. \]

Собираем: \[ L= \frac{v^2}{g} \left(1+\frac{m}{M}\right) \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha. \]

Так как \(2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha\), получаем: \[ L= \frac{v^2}{g} \left(1+\frac{m}{M}\right) \sin 2\alpha. \]

Теперь выражаем \(v^2\): \[ v^2= \frac{gL} {\left(1+\frac{m}{M}\right)\sin 2\alpha}. \]

Скорость положительна, поэтому: \[ v= \sqrt{ \frac{gL} {\left(1+\frac{m}{M}\right)\sin 2\alpha} }. \]

Подставляем \(L=0{,}5\) м, \(m/M=0{,}1/0{,}9=1/9\), \(\alpha=15^\circ\): \[ v^2= \frac{10\cdot0{,}5} {\left(1+\frac{1}{9}\right)\sin30^\circ} = \frac{5} {\frac{10}{9}\cdot0{,}5} = \frac{5}{\frac{5}{9}} =9. \]

Отсюда: \[ v=3\ \text{м/с}. \]

То есть \(L\) сначала превращается в уравнение с \(v^2\), а затем из него извлекается квадратный корень — так и получается скорость \(3\) м/с.

№ 261. Ответ: \(T=26\ \text{Н}\). Железный шарик будет внизу, алюминиевый — вверху; нить натянута.

Рисунок (силы, действующие на шарики):

          алюминий (верхний шар)
      F_арх ↑        F_сопр ↑
             │
      m₁g ↓  │  T ↓
             │ нить
             │  T ↑
             ▼
          железо (нижний шар)
      F_арх ↑        F_сопр ↑
             │
            m₂g ↓

Сначала найдём массы шариков. Объём каждого:

\[ V=1\ \text{дм}^3=10^{-3}\ \text{м}^3. \]

\[ m_1=\rho_{\text{ал}}V=2700\cdot10^{-3}=2{,}7\ \text{кг}, \]

\[ m_2=\rho_{\text{ж}}V=7900\cdot10^{-3}=7{,}9\ \text{кг}. \]

После установления движения шарики погружаются с постоянной скоростью, значит ускорение каждого равно нулю. Шарики одинакового объёма, значит у них одинаковый радиус; движутся они с одинаковой скоростью, поэтому силы сопротивления на них одинаковы:

\[ F_{\text{сопр},1}=F_{\text{сопр},2}=F_c. \]

Архимедовы силы тоже одинаковы:

\[ F_{A,1}=F_{A,2}=F_A. \]

Запишем условия равновесия сил для каждого шарика.

Для алюминиевого шарика (он сверху, нить тянет его вниз):

\[ m_1g+T=F_A+F_c. \tag{1} \]

Для железного шарика (он снизу, нить тянет его вверх):

\[ m_2g=T+F_A+F_c. \tag{2} \]

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\[ m_2g-m_1g-T=T, \]

\[ (m_2-m_1)g=2T. \]

Отсюда:

\[ T=\frac{(m_2-m_1)g}{2}. \]

Подставляем:

\[ T=\frac{(7{,}9-2{,}7)\cdot10}{2} =\frac{5{,}2\cdot10}{2} =26\ \text{Н}. \]

Ответ: сила натяжения нити равна \(26\ \text{Н}\).

Плотность морской воды в итоге сокращается: важно только, что у шариков одинаковый объём и одинаковая сила сопротивления.