401. Решите графически систему а) (x − 4)² + (y − 5)² = 9, y = x;

Для полностью видимого пункта 401 а) есть две точки пересечения:

\[ (x;y)=\left(\frac{9-\sqrt{17}}{2};\frac{9-\sqrt{17}}{2}\right) \quad\text{и}\quad \left(\frac{9+\sqrt{17}}{2};\frac{9+\sqrt{17}}{2}\right) \]

Приближённо:

\[ (2{,}44;2{,}44)\quad\text{и}\quad(6{,}56;6{,}56) \]

Как рассуждать

1. Уравнение \[ (x-4)^2+(y-5)^2=9 \] задаёт окружность с центром \(O(4;5)\) и радиусом \[ R=\sqrt{9}=3. \]

2. Уравнение \(y=x\) задаёт прямую, проходящую через начало координат и, например, точки \((1;1)\), \((4;4)\).

3. На графике эта прямая пересекает окружность в двух точках. По рисунку они находятся примерно около \((2{,}4;2{,}4)\) и \((6{,}6;6{,}6)\).

4. Чтобы получить точные координаты, подставляем \(y=x\) в уравнение окружности: \[ (x-4)^2+(x-5)^2=9. \] Раскрываем скобки: \[ x^2-8x+16+x^2-10x+25=9, \] \[ 2x^2-18x+32=0, \] \[ x^2-9x+16=0. \] Корни: \[ x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2}. \] Так как \(y=x\), координаты точек совпадают.

Проверка. Если \(x_0\) — корень уравнения \(x^2-9x+16=0\), то \(x_0^2=9x_0-16\). Тогда \[ (x_0-4)^2+(x_0-5)^2 =2x_0^2-18x_0+41 =2(9x_0-16)-18x_0+41 =9. \] Значит обе точки действительно принадлежат окружности и прямой.