реши задачи желательно не прям подробно с 56 по 65
Сверь числа и знаки с фото.
56 Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, \(A\) — точка плоскости \(\alpha\). Докажите, что любая прямая, проходящая через точку \(A\) и параллельная плоскости \(\beta\), лежит в плоскости \(\alpha\). 57 Прямая \(a\) параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая \(a\) либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней. 58 Докажите, что если плоскость \(\gamma\) пересекает одну из параллельных плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), то она пересекает и другую плоскость.
59 Докажите, что через точку \(A\), не лежащую в плоскости \(\alpha\), проходит плоскость, параллельная плоскости \(\alpha\), и притом только одна. 60 Две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны плоскости \(\gamma\). Докажите, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. 61 Даны две пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\) и точка \(A\), не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку \(A\) проходит плоскость, параллельная прямым \(a\) и \(b\), и притом только одна. 62 Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых? 63 Параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекают сторону \(AB\) угла \(BAC\) соответственно в точках \(A_1\) и \(A_2\), а сторону \(AC\) этого угла — соответственно в точках \(B_1\) и \(B_2\). Найдите: а) \(AA_2\) и \(AB_2\), если \(A_1A_2=2A_1A=12\) см, \(AB_1=5\) см; б) \(A_2B_2\) и \(AA_2\), если \(A_1B_1=18\) см, \(AA_1=24\) см, \(AA_2=\frac{3}{2}A_1A_2\). 64 Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\), а другую — в точках \(A_2\), \(B_2\) и \(C_2\). Докажите, что треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) подобны. 65 Параллельные отрезки \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) заключены между параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 32). а) Определите вид четырёхугольников \(A_1B_1B_2A_2\), \(B_1C_1C_2B_2\) и \(A_1C_1C_2A_2\). б) Докажите, что \(\triangle A_1B_1C_1=\triangle A_2B_2C_2\). [Рисунок: две параллельные плоскости \(\alpha\) (сверху) и \(\beta\) (снизу); в плоскости \(\alpha\) — треугольник \(A_1B_1C_1\), в плоскости \(\beta\) — треугольник \(A_2B_2C_2\); отрезки \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\) соединяют соответствующие вершины.] Рис. 32
56. Пусть \(l\) проходит через \(A\), \(l\parallel\beta\). Если \(l\not\subset\alpha\), то \(l\) пересекает \(\alpha\) только в \(A\). Плоскость через \(l\), пересекающая \(\alpha\) по прямой \(m\), пересечёт \(\beta\) по \(n\). Тогда \(m\parallel n\) и \(l\parallel n\), хотя через \(A\) идут две разные прямые, параллельные \(n\). Противоречие, значит, \(l\subset\alpha\).
57. Если \(a\cap\beta=\varnothing\), то \(a\parallel\beta\). Если \(a\) имеет с \(\beta\) общую точку \(P\), то по задаче 56 \(a\subset\beta\).
58. Если бы \(\gamma\) не пересекала \(\beta\), то \(\gamma\parallel\beta\). Но \(\alpha\parallel\beta\), тогда \(\gamma\parallel\alpha\), противоречие.
59. В \(\alpha\) возьмём две пересекающиеся прямые \(a,b\). Через \(A\) проведём \(a_1\parallel a\), \(b_1\parallel b\). Плоскость \(\beta\) через \(a_1,b_1\) параллельна \(\alpha\). Любая другая такая плоскость через \(A\) должна содержать \(a_1,b_1\), значит, совпадает с \(\beta\).
60. Прямая, перпендикулярная \(\gamma\), перпендикулярна \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, \(\alpha\parallel\beta\).
61. Через \(A\) проведём \(a_1\parallel a\), \(b_1\parallel b\); они задают плоскость \(\beta\parallel(a,b)\), поэтому \(\beta\parallel a\) и \(\beta\parallel b\). Другая такая плоскость должна содержать \(a_1,b_1\), значит, единственна.
62. Две параллельные горизонтальные прямые могут лежать в наклонной плоскости. Уровни на таких прямых не покажут наклон вдоль перпендикуляра к ним. Две пересекающиеся горизонтальные прямые задают уже горизонтальную плоскость.
63. \(\triangle AA_1B_1\sim\triangle AA_2B_2\), так как \(A_1B_1\parallel A_2B_2\). а) \(AA_1=6\), \(AA_2=6+12=18\) см; \(AB_2=\dfrac{18}{6}\cdot5=15\) см. б) Пусть \(A_1A_2=x\). Тогда \(24+x=\frac32x\), откуда \(x=48\), \(AA_2=72\) см. Далее \(A_2B_2=18\cdot\dfrac{72}{24}=54\) см.
64. Пусть \(O\) — общая точка прямых. Плоскость \(OAB\) пересекает параллельные плоскости \(\alpha,\beta\) по параллельным прямым: \(A_1B_1\parallel A_2B_2\). Аналогично \(B_1C_1\parallel B_2C_2\) и \(C_1A_1\parallel C_2A_2\). Треугольники с соответственно параллельными сторонами подобны.
65. а) Все три четырёхугольника — параллелограммы: параллельные отрезки между параллельными плоскостями равны, поэтому, например, \(A_1A_2\parallel B_1B_2\) и \(A_1A_2=B_1B_2\). б) Из этих параллелограммов \(A_1B_1=A_2B_2\), \(B_1C_1=B_2C_2\), \(C_1A_1=C_2A_2\). По трём сторонам \(\triangle A_1B_1C_1\cong\triangle A_2B_2C_2\).
