вычислить определители

Ответ: \(29\).

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 2 & -7 & 5\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} \]

Раскладываем определитель по первой строке. Знаки чередуются: \(+, -, +\). Для второго слагаемого стоит минус перед элементом \(-7\), поэтому получается \(+7\):

\[ \Delta= 2\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix} -(-7)\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}2&2\\1&-1\end{vmatrix}. \]

Определитель \(2\times2\) считается по формуле \[ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc. \] Поэтому: \[ \Delta= 2(2\cdot3-1\cdot(-1)) +7(2\cdot3-1\cdot1) +5(2\cdot(-1)-2\cdot1), \] \[ \Delta=2\cdot7+7\cdot5+5\cdot(-4) =14+35-20=29. \]

Проверка по первому столбцу: \[ \Delta= 2\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}-7&5\\-1&3\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}-7&5\\2&1\end{vmatrix} =14-2\cdot(-16)+(-17)=29. \]

Общий принцип: выбираем строку или столбец, для каждого элемента берём его минор — определитель матрицы без этой строки и столбца — и умножаем на \((-1)^{i+j}\), где \(i,j\) — номера строки и столбца.