Решить уравнение корень третьей степени из х^2-4х+4 минус 2* на корень третьей степени из х-2 -3 =0
Краткий ответ: \(x=1\) или \(x=29\).
Решение:
\[ \sqrt[3]{x^2-4x+4}-2\sqrt[3]{x-2}-3=0. \]
Заметим, что
\[ x^2-4x+4=(x-2)^2. \]
Введём замену:
\[ t=\sqrt[3]{x-2}, \qquad t^3=x-2. \]
Тогда
\[ \sqrt[3]{(x-2)^2}=t^2. \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ t^2-2t-3=0. \]
По теореме Виета или через дискриминант:
\[ (t-3)(t+1)=0, \]
значит,
\[ t=3 \quad \text{или} \quad t=-1. \]
Возвращаемся к \(x\):
- Если \(t=3\), то
\[ \sqrt[3]{x-2}=3 \Rightarrow x-2=27 \Rightarrow x=29. \]
- Если \(t=-1\), то
\[ \sqrt[3]{x-2}=-1 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1. \]
Проверка:
- при \(x=1\): \(1-2\cdot(-1)-3=1+2-3=0\);
- при \(x=29\): \(9-2\cdot3-3=9-6-3=0\).
Ответ:
\[ \boxed{x=1;\ x=29} \]
Принцип: если выражение содержит \((x-2)^2\) и \(x-2\), удобно обозначить кубический корень из \(x-2\) через \(t\). Тогда первое слагаемое превращается в \(t^2\), и уравнение сводится к квадратному.
Обсуждение
2 сообщенияНужно ли делать проверку если корень нечетной степени
Для нечётного корня (кубического, пятого и т. д.) обязательная проверка обычно не нужна: он определён при любых действительных значениях подкоренного выражения, а возведение в нечётную степень — обратимая операция. Поэтому посторонних корней из-за самого корня здесь не появляется.
В вашем уравнении замена
\[ t=\sqrt[3]{x-2} \]
равносильна: каждому \(t\) соответствует ровно одно \(x\), и наоборот. Значит, оба найденных значения \(x=1\) и \(x=29\) являются решениями.
Проверку всё равно полезно делать как самоконтроль, чтобы поймать арифметическую ошибку, но она не является обязательным этапом отбора корней.
Сравните: при корне чётной степени проверка нужна, потому что после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни.
