умножить матрицы

\[ \begin{pmatrix}1&2\\-4&8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&5\\-8&12\end{pmatrix} \]

Как это получается

При умножении матриц действует правило «строка на столбец»: берём строку первой матрицы и столбец второй, перемножаем соответствующие элементы и складываем.

Обозначим результат через \(C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}\). Тогда:

\[ c_{11}=1\cdot4+2\cdot1=4+2=6 \] \[ c_{12}=1\cdot1+2\cdot2=1+4=5 \] \[ c_{21}=-4\cdot4+8\cdot1=-16+8=-8 \] \[ c_{22}=-4\cdot1+8\cdot2=-4+16=12 \]

То есть элемент \(c_{ij}\) стоит на пересечении \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца и получается из \(i\)-й строки первой матрицы и \(j\)-го столбца второй.

Проверка

Умножение возможно, потому что у первой матрицы 2 столбца, а у второй 2 строки — внутренние размеры совпадают, результат тоже \(2\times2\).

Проверим через определители: \(\det A=1\cdot8-2\cdot(-4)=16\), \(\det B=4\cdot2-1\cdot1=7\), а \(\det C=6\cdot12-5\cdot(-8)=72+40=112=16\cdot7\). Всё сходится.