Сделай 60 и 62 номер

Question

Расшифровка фото нейросетью:
60 Две плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны плоскости $\gamma$. Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.
62 Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?

Answer

Коротко.
№60: $\alpha\parallel\beta$.
№62: два параллельных уровня контролируют только одно направление; наклон диска вокруг этого направления они не заметят. Нужны две пересекающиеся прямые — два независимых направления.

№60

Допустим, что различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$. Тогда $A\notin\gamma$, иначе $\alpha$ или $\beta$ пересекала бы $\gamma$.

Через точку $A$, не лежащую в плоскости $\gamma$, проходит только одна плоскость, параллельная $\gamma$. Но через $A$ проходят обе плоскости $\alpha$ и $\beta$, и обе параллельны $\gamma$. Значит, они должны совпадать, что противоречит тому, что это две разные плоскости.

Следовательно, общих точек у $\alpha$ и $\beta$ нет, то есть $\alpha\parallel\beta$.

№62

Уровень показывает горизонтальность только вдоль своей оси. Если оси двух уровней параллельны, они проверяют фактически одно и то же направление.

Диск можно наклонить вокруг прямой, параллельной этим осям: обе оси останутся горизонтальными, пузырьки уровней останутся на нуле, но плоскость диска будет наклонена. Например, в наклонной плоскости $z=ky$ все прямые, параллельные оси $Ox$, горизонтальны.

В наклонной плоскости все горизонтальные прямые параллельны между собой. Поэтому две пересекающиеся прямые не могут обе быть горизонтальными, если плоскость не горизонтальна. Если же обе пересекающиеся оси уровней горизонтальны, то плоскость тоже горизонтальна.

Вывод: пересекающиеся уровни контролируют наклон в двух независимых направлениях, а параллельные — только в одном, поэтому параллельно их располагать нельзя.