1. Одну из двух прямо пропорциональных величин увеличили в 4 раза. Как изменится вторая величина?

Ниже решения по видимым заданиям 1–4.

Кратко

1. Вторая величина увеличится в 4 раза.
2. Вторая величина увеличится в 6 раз.
3. Заполненная таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & 60 & 80 & 120 & 96 & 1{,}5 & 2{,}5 & 3\frac{3}{4} & 20\\ \hline y & 4 & 3 & 2 & 2{,}5 & 160 & 96 & 64 & 12 \end{array} \]

4. а) \(5{,}5\) кг; б) \(25\) км/ч.

Почему так

1. При прямой пропорциональности \(\dfrac{y}{x}=k\), то есть \(y=kx\). Если \(x\) увеличить в 4 раза, то \(y\) тоже увеличится в 4 раза.

2. При обратной пропорциональности \(xy=k\). Если одну величину уменьшить в 6 раз, то другая должна увеличиться в 6 раз, чтобы произведение осталось тем же.

3. Берём известную пару \(x=60\), \(y=4\):

\[ k=xy=60\cdot4=240. \]

Значит, для каждой пары \(xy=240\). Например:

\[ y=\frac{240}{80}=3,\qquad x=\frac{240}{2}=120. \]

Все произведения в таблице равны \(240\), поэтому таблица заполнена верно.

4. а) Задача: за \(2{,}5\) кг товара заплатили \(185\) р. Сколько килограммов такого же товара можно купить за \(407\) р.?

Зависимость прямая: при постоянной цене масса и стоимость увеличиваются одинаково.

\[ \frac{2{,}5}{x}=\frac{185}{407} \]

\[ x=\frac{2{,}5\cdot407}{185}=5{,}5\ \text{кг}. \]

Проверка: цена за килограмм \(185:2{,}5=74\) р., и \(407:5{,}5=74\) р.

б) Задача: два теплохода прошли одинаковое расстояние. Первый шёл \(2\) ч \(45\) мин со скоростью \(20\) км/ч, второй — \(2\) ч \(12\) мин. Найдите скорость второго теплохода.

Зависимость обратная: при постоянном расстоянии скорость и время обратно пропорциональны.

\[ 2\text{ ч }45\text{ мин}=2{,}75\text{ ч},\qquad 2\text{ ч }12\text{ мин}=2{,}2\text{ ч}. \]

\[ \frac{20}{x}=\frac{2{,}2}{2{,}75}=\frac{4}{5} \]

\[ x=25\ \text{км/ч}. \]

Проверка: \(20\cdot2{,}75=55\) км и \(25\cdot2{,}2=55\) км — расстояния одинаковые.