У меня скоро завтра контроша по алгебре подготовь меня к ней и напиши сюда примеры по степеням с раскрытием скобок про одночлены многочлены все что я щас сказала реши в видео…

Коротко: на контрольной по этим темам держись 5 правил — свойства степеней, знак перед скобкой, распределительный закон, приведение подобных и формулы сокращённого умножения. Ниже — разбор примеров по шагам и мини-тренировка. Видео не записываю, но объясняю как в видеоуроке.

Алгоритм на контрольной

1. Сначала наведи порядок в степенях и одночленах.
2. Раскрывая скобки, следи за знаком: минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого.
3. После раскрытия приведи подобные слагаемые.
4. В уравнении сначала упрости обе части, потом переноси.
5. Проверь ответ подстановкой числа.

1. Степени

Основные свойства:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n. \]

Пример:

\[ (2x^2y)^3\cdot(-3xy^2)=8x^6y^3\cdot(-3xy^2)=-24x^7y^5. \]

Что сделал: возвёл каждый множитель в куб, затем перемножил коэффициенты, а показатели одинаковых букв сложил.

2. Одночлены

Одночлен — это произведение чисел и степеней букв.

\[ -4a^2b\cdot 3ab^3=-12a^3b^4. \]

Коэффициент здесь \(-12\), а степень одночлена: \(3+4=7\).

Подобные слагаемые складываются:

\[ 5x^2y-8x^2y=-3x^2y. \]

3. Раскрытие скобок и многочлены

Многочлен — это сумма одночленов.

\[ (3x^2-2x+1)-(x^2+5x-4)=3x^2-2x+1-x^2-5x+4=2x^2-7x+5. \]

Обрати внимание: минус перед скобкой поменял знаки у всех слагаемых внутри.

Распределительный закон:

\[ -2a(3a-4b)=-6a^2+8ab. \]

Комбинированный пример со степенью:

\[ (2x^2)^2(3x-1)=4x^4(3x-1)=12x^5-4x^4. \]

4. Умножение многочленов

Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй:

\[ (2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12. \]

Проверка при \(x=1\): слева \((-1)\cdot5=-5\), справа \(2+5-12=-5\). Всё верно.

5. Формулы сокращённого умножения

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \]

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \]

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Примеры:

\[ (3x-2)^2=9x^2-12x+4, \]

\[ (2a+5)(2a-5)=4a^2-25. \]

Частая ошибка: \((a+b)^2\ne a^2+b^2\). Обязательно есть удвоенное произведение \(2ab\).

6. Разложение на множители

Вынесение общего множителя:

\[ 6x^3-9x^2=3x^2(2x-3). \]

Способ группировки:

\[ x^2+3x+2x+6=x(x+3)+2(x+3)=(x+2)(x+3). \]

7. Уравнение после упрощения

\[ (x-3)(x+2)=x^2-6. \]

Раскрываем левую часть:

\[ x^2-x-6=x^2-6. \]

Сокращаем \(x^2\) и \(-6\):

\[ -x=0,\qquad x=0. \]

Проверка: \((-3)\cdot2=-6\), а \(0-6=-6\). Верно.

Мини-тренировка

Реши сам, потом сверь:

1. \((3a^2b)^2\cdot(-2ab^3)\)
2. \(7x^2-3x(2x-5)\)
3. \((4y-1)(2y+3)\)
4. \((5m-2)^2\)
5. \(12a^3b-18a^2b^2\)

Ответы:

1. \(-18a^5b^5\)
2. \(x^2+15x\)
3. \(8y^2+10y-3\)
4. \(25m^2-20m+4\)
5. \(6a^2b(2a-3b)\)

Если какой-то номер не сошёлся — пришли его, разберу по шагам.