реши правильно

Question

реши правильно

Расшифровка фото нейросетью:
Из города $A$ в город $B$, находящийся на расстоянии 420 км от $A$, со скоростью 70 км/ч выезжает Емеля на печке. Одновременно с ним из $B$ в $A$ с постоянной скоростью $v$ км/ч выбегает Мальчик-с-пальчик в сапогах-скороходах. Через полчаса после их встречи Мальчик-с-пальчик, не добегая до города $A$, поворачивает обратно и с прежней скоростью движется по направлению к $B$. Найдите все значения $v$, при которых Мальчик-с-пальчик прибегает в $B$ раньше, чем Емеля на своей печке. В ответе укажите количество цел. значений $v$.

Answer

Ответ: $111$ целых значений $v$ — это $v=99,100,\ldots,209$. Решение Пусть $t_0$ — время до встречи. Тогда $$ t_0=\frac{420}{70+v}. $$ К моменту встречи Мальчик-с-пальчик прошёл $v t_0$ км от $B$, а расстояние от точки встречи до $A$ равно $70t_0$. За полчаса в сторону $A$ он пробегает $\frac v2$ км. Чтобы он повернул, не дойдя до $A$, нужно $$ \frac v2<70t_0=\frac{29400}{70+v}. $$ Отсюда $$ v^2+70v-58800<0 \quad\Longleftrightarrow\quad (v-210)(v+280)<0, $$ то есть при $v>0$ $$ v<210. $$ Теперь найдём общее время Мальчика-с-пальчика. От $B$ до встречи — $t_0$, ещё полчаса до поворота, а обратно от поворота до $B$ он бежит время $$ \frac{vt_0+\frac v2}{v}=t_0+\frac12. $$ Значит, $$ t_{\text{М}}=t_0+\frac12+\left(t_0+\frac12\right)=2t_0+1. $$ Емеля едет всё время со скоростью $70$ км/ч, поэтому $$ t_{\text{Е}}=\frac{420}{70}=6\text{ ч}. $$ Нужно, чтобы Мальчик прибыл раньше: $$ 2t_0+1<6 \quad\Longleftrightarrow\quad t_0<\frac52. $$ То есть $$ \frac{420}{70+v}<\frac52 \quad\Longleftrightarrow\quad v>98. $$ Объединяем условия: $$ 98