Реши и Сделай рисунок с указанием всех сил и осями

Краткий ответ:
\[ F_{\min}=30\ \text{Н}. \] Точнее, при \(F=30\) Н наступает предельное состояние; соскальзывание начинается при \(F>30\) Н.

Рисунок: силы и оси

Ось \(x\) направлена вправо, ось \(y\) — вверх.

          y
          ↑
          │        N_б
          │         ↑
          │      ┌───────┐
          │      │   m   │ ───→ f_тр   (трение на брусок)
          │      └───┬───┘
          │          ↓ mg
          │          ↓ N'_б
          │  ← f'_тр
          │   ═══════════════════
          │   [     Доска M     ] ───→ F
          │   ═══════════════════
          │       ↑ N       ↓ Mg
          └────────────────────────→ x

Обозначения:

• на брусок: \(m\vec g\) вниз, \(\vec N_b\) вверх, сила трения \(\vec f_{\rm тр}\) вправо;
• на доску: \(M\vec g\) вниз, \(\vec N'_b\) вниз — давление бруска, \(\vec f'_{\rm тр}\) влево — трение со стороны бруска, \(\vec N\) вверх — реакция стола, \(\vec F\) вправо;
• стол гладкий, поэтому трения со стороны стола нет;
• \(N_b=mg=30\) Н, \(N=(M+m)g=150\) Н.

Решение

Пока брусок не соскальзывает, он движется вместе с доской с некоторым ускорением \(a\). Брусок ускоряет только сила трения покоя:

\[ f_{\rm тр}=ma. \]

Максимальная сила трения покоя:

\[ f_{\max}=\mu N_b=\mu mg=0{,}2\cdot 3\cdot 10=6\ \text{Н}. \]

Значит, максимальное ускорение, которое трение может сообщить бруску:

\[ a_{\max}=\frac{f_{\max}}{m}=\mu g=0{,}2\cdot 10=2\ \text{м/с}^2. \]

Когда доска начнёт двигаться с ускорением больше \(2\ \text{м/с}^2\), брусок уже не сможет за ней успевать — начнётся проскальзывание.

Рассмотрим доску в этот предельный момент. На неё действуют:

\[ F-f_{\max}=Ma_{\max}. \]

Отсюда:

\[ F_{\min}=Ma_{\max}+f_{\max} =M\mu g+\mu mg =\mu(M+m)g. \]

Подставляем числа:

\[ F_{\min}=0{,}2(12+3)\cdot 10=30\ \text{Н}. \]

Проверка

При \(F=30\) Н:

\[ a=\frac{F}{M+m}=\frac{30}{15}=2\ \text{м/с}^2, \]

\[ f_{\rm тр}=ma=3\cdot 2=6\ \text{Н}=f_{\max}. \]

То есть трение как раз достигает максимума. Если приложить чуть большую силу, доска станет ускоряться быстрее бруска — брусок начнёт соскальзывать.

\[ \boxed{F_{\min}=30\ \text{Н};\quad \text{проскальзывание при } F>30\ \text{Н}} \]