Диагонали равнобокой трапеции ABCD (AB = CD) пересе[обрезано] в точке O. Докажите, что AO = OD и BO = OC.

На фото отмечено задание 248 — решаю его.

Краткий ответ: утверждение верно: \(AO=OD\) и \(BO=OC\).

Доказательство.

1. В равнобедренной трапеции диагонали равны: \(AC=BD\). (Это свойство равнобедренной трапеции; при необходимости его доказывают через равенство прямоугольных треугольников, образованных высотами.)
2. Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle DCA\): \[ AB=CD,\quad AD\text{ — общая},\quad BD=AC. \] Поэтому \(\triangle ABD=\triangle DCA\) по трём сторонам.
3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, значит \[ \angle BDA=\angle CAD. \]
4. В \(\triangle AOD\) углы при основании \(AD\) равны, следовательно, этот треугольник равнобедренный: \[ AO=OD. \]
5. Аналогично \(\triangle ABC=\triangle DCB\) по трём сторонам: \[ AB=CD,\quad BC\text{ — общая},\quad AC=DB. \] Отсюда \[ \angle ACB=\angle DBC. \]
6. В \(\triangle BOC\) углы при основании \(BC\) равны, поэтому \[ BO=OC. \]

Вывод: диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на равные отрезки: \(AO=OD\) и \(BO=OC\), что и требовалось доказать.