Реши уравнение 8 класс алгебра х²-1 / х²-2х+1
Здесь не хватает правой части: запись \(\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}\) — это дробь, а не уравнение.
Если нужно сократить дробь: \[ x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-2x+1=(x-1)^2, \] поэтому \[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} =\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} =\frac{x+1}{x-1},\qquad x\ne1. \] Условие \(x\ne1\) важно: при \(x=1\) знаменатель равен нулю.
Если уравнение было \[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0, \] то дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[ x^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1. \] Но \(x=1\) не подходит, значит остаётся \[ x=-1. \]
Проверка: при \(x=-1\) числитель \(1-1=0\), знаменатель \(1+2+1=4\), поэтому дробь равна \(0\).
Пришли, что стоит после знака «=», если уравнение не равно нулю.
Обсуждение
4 сообщения=0
Уравнение: \[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0 \]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
\[ x^2-1=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)(x+1)=0 \] \[ x=1 \quad\text{или}\quad x=-1 \]
Но знаменатель: \[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \] обращается в нуль при \(x=1\), поэтому \(x=1\) не подходит.
Ответ: \[ \boxed{x=-1} \]
Проверка: \[ \frac{(-1)^2-1}{(-1)^2-2(-1)+1}=\frac{0}{4}=0. \]
Одз
ОДЗ — это допустимые значения \(x\), при которых выражение вообще имеет смысл.
В уравнении \[ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1}=0 \] нельзя делить на ноль, поэтому: \[ x^2-2x+1\ne0 \]
Разложим знаменатель: \[ x^2-2x+1=(x-1)^2 \] Значит: \[ (x-1)^2\ne0 \quad\Rightarrow\quad x-1\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne1 \]
ОДЗ: \[ x\ne1 \] или \[ x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]
Теперь решаем: \[ x^2-1=0 \] \[ (x-1)(x+1)=0 \] \[ x=1 \quad\text{или}\quad x=-1 \]
Корень \(x=1\) не входит в ОДЗ, поэтому его отбрасываем.
Ответ: \[ \boxed{x=-1} \]
То есть ОДЗ как раз и помогает «убрать» \(x=1\), при котором знаменатель равен нулю.
