462 Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.

Краткий ответ: \(18\ \text{см}^2\).

Почему так

Площадь параллелограмма равна \(S=ah\), где \(a\) — сторона, \(h\) — высота к ней. Если угол между сторонами \(\alpha\), то \(h=b\sin\alpha\), поэтому \[ S=ab\sin\alpha. \] Ромб — это параллелограмм, у которого \(a=b=6\) см. Значит, \[ S=6\cdot6\cdot\sin150^\circ. \] Так как \[ \sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12, \] получаем: \[ S=36\cdot\frac12=18\ \text{см}^2. \]

Проверка. Соседний угол ромба равен \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\). Высота к стороне: \[ h=6\sin30^\circ=3\ \text{см}, \] тогда \(S=6\cdot3=18\ \text{см}^2\). Ответ совпадает.

Что запомнить: \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\), поэтому в формуле площади можно брать острый угол ромба.