Решено правильно??
Краткий ответ
Да, всё решено верно — все восемь пунктов (а–з), оба корня в каждом. Единственная придирка чисто оформительская: в пунктах г), д) и з) неизвестная обозначена \(y\) и \(p\), а в строке с формулой корней остался \(x\). На числа это не влияет.
Как устроено такое решение
Любое квадратное уравнение приводим к виду \(ax^2+bx+c=0\) и считаем дискриминант:
\[ D = b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
- \(D>0\) — два корня (как во всех пунктах здесь);
- \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\);
- \(D<0\) — корней нет.
Проверка через теорему Виета
Быстрый способ проверить себя, не подставляя корни: для \(ax^2+bx+c=0\)
\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]
| пункт | уравнение | корни | сумма | произведение |
|---|---|---|---|---|
| а) | \(3x^2-7x+4=0\) | \(1;\ \tfrac{4}{3}\) | \(\tfrac{7}{3}\) ✓ | \(\tfrac{4}{3}\) ✓ |
| б) | \(5x^2-8x+3=0\) | \(1;\ 0{,}6\) | \(\tfrac{8}{5}=1{,}6\) ✓ | \(\tfrac{3}{5}=0{,}6\) ✓ |
| в) | \(3x^2-13x+14=0\) | \(2;\ \tfrac{7}{3}\) | \(\tfrac{13}{3}\) ✓ | \(\tfrac{14}{3}\) ✓ |
| г) | \(2y^2-9y+10=0\) | \(2;\ 2{,}5\) | \(4{,}5\) ✓ | \(5\) ✓ |
| д) | \(5y^2-6y+1=0\) | \(\tfrac{1}{5};\ 1\) | \(\tfrac{6}{5}\) ✓ | \(\tfrac{1}{5}\) ✓ |
| е) | \(4x^2+x-33=0\) | \(-3;\ \tfrac{11}{4}\) | \(-\tfrac{1}{4}\) ✓ | \(-\tfrac{33}{4}\) ✓ |
| ж) | \(y^2-10y-24=0\) | \(-2;\ 12\) | \(10\) ✓ | \(-24\) ✓ |
| з) | \(p^2+p-90=0\) | \(-10;\ 9\) | \(-1\) ✓ | \(-90\) ✓ |
Всё сходится и по Виету, и по дискриминанту — значит, ошибок в вычислениях нет.
Полезный приём на будущее
Если \(b\) чётное, дискриминант удобно считать вчетверо меньшим:
\[ \frac{D}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac,\qquad x=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D/4}}{a}. \]
Например, пункт б): \(5x^2-8x+3=0\), \(\frac{b}{2}=-4\), \(\frac{D}{4}=16-15=1\), \(x=\frac{4\pm 1}{5}\), то есть \(1\) и \(0{,}6\). Числа меньше — ошибиться труднее.
Главный источник ошибок в таких заданиях — арифметика при подсчёте \(D\) (особенно знак при \(c<0\), как в пунктах е) и з). Поэтому проверка через Виета или подстановка корней занимает секунды, а страхует надёжно — советую делать её всегда, даже когда ответ взят из решебника.
