Реши 288

Ответ: масса планеты меньше массы Земли в 6 раз.

Пусть \(M\), \(R\), \(g\) — масса, радиус и ускорение свободного падения. Для поверхности планеты:

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

Запишем отношение для планеты и Земли:

\[ \frac{g_{\text{п}}}{g_{\text{З}}} = \frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{З}}} \cdot \left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{п}}}\right)^2 \]

По условию:

\[ \frac{g_{\text{п}}}{g_{\text{З}}}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{п}}}=\sqrt{2} \]

Тогда:

\[ \frac{1}{3} = \frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{З}}} \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{З}}}\cdot 2 \]

Отсюда:

\[ \frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{З}}} = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \]

Значит, масса планеты составляет \(\frac{1}{6}\) массы Земли, то есть меньше в 6 раз.

Проверка: если масса в 6 раз меньше, а радиус в \(\sqrt{2}\) раза меньше, то

\[ g_{\text{п}}\sim \frac{1/6}{(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} \]

Ускорение действительно в 3 раза меньше.