решить матричным способом с проверкой

Краткий ответ: \(x=\frac{3}{5},\quad y=-\frac{8}{5}\).

Матричный способ

Запишем систему в виде \(AX=B\): \[ A=\begin{pmatrix}7&2\\3&-2\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}. \] Умножим обе части слева на \(A^{-1}\): \[ A^{-1}AX=A^{-1}B \quad\Rightarrow\quad X=A^{-1}B. \]

1. Находим определитель: \[ \det A=7\cdot(-2)-2\cdot3=-14-6=-20\neq0. \] Значит, обратная матрица существует.

2. Для матрицы \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \] Поэтому \[ A^{-1}=\frac{1}{-20}\begin{pmatrix}-2&-2\\-3&7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\ \frac{3}{20}&-\frac{7}{20} \end{pmatrix}. \]

3. Умножаем \(A^{-1}\) на \(B\): \[ X= \begin{pmatrix} \frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\ \frac{3}{20}&-\frac{7}{20} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10}+\frac{5}{10}\\ \frac{3}{20}-\frac{35}{20} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ -\frac{8}{5} \end{pmatrix}. \] То есть \[ x=\frac{3}{5},\qquad y=-\frac{8}{5}. \]

Проверка: я проверил подстановкой: \[ 7\cdot\frac{3}{5}+2\cdot\left(-\frac{8}{5}\right) =\frac{21-16}{5}=1, \] \[ 3\cdot\frac{3}{5}-2\cdot\left(-\frac{8}{5}\right) =\frac{9+16}{5}=5. \] Оба уравнения выполняются, значит, ответ верный.

Принцип: систему записывают как \(AX=B\), затем находят обратную матрицу и вычисляют \(X=A^{-1}B\). Если определитель равен нулю, обратной матрицы нет, и этот способ в таком виде не применяется.